Меню
Главная
УСЛУГИ
Авторизация/Регистрация
Реклама на сайте
Построение границы эффективных портфелейРоль коротких продаж в формировании эффективного портфеляСоотношение риска и доходности портфеля. Граница эффективных портфелейГраницы эффективных определенийВыбор оптимального варианта складской подсистемы логистической системы
Основные принципы и этапы математического моделирования в социологииМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ...Математическое программированиеРОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА (КОНЕЦ XIX- НАЧАЛО XX В.)Способы определения натуральной величины отрезка прямой и плоской...
 
Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >

Определение границы эффективных портфелей. Выбор оптимального портфеля

Если портфель состоит более чем из двух ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности Е* можно путем изменения весов акций создать бесконечное количество портфелей или, иными словами, можно сформировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Подход Г. Марковица к нахождению оптимального портфеля следующий: пусть имеется п акций, из которых формируется портфель (в нашем примере п = 3). Зададим любое значение E(rnopтф) = Е*, например Е* = 0,14. Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой доходностью E(rnopтф) = 0,14 необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему.

Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(3.8)

при заданных начальных условиях

(3.9)

(3.10)

Как следует из формул (3.8)-(3.10), для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего п ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) п значений ожидаемой доходности Е(г,) каждой акции в портфеле;

б) п величин дисперсий каждой ценной бумаги;

в) п(п – 1)/2 значений ковариаций , где i,j = 1, 2,..., п.

Способы их вычислений приведены выше. Если подставить вычисленные значения Е(ri), и в выражения (3.8)-(3.10), то выяснится, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi – веса каждой акции в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из п акций в модели Марковица, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины ожидаемой доходности Е* инвестор должен найти такую комбинацию весов Wi акций портфеля, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной акции, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Существуют графический и математический способы решения задачи нахождения весов в модели Марковица.

Математический способ

Для вычисления требуемых величин WA, WB и WC используется аппарат линейной алгебры. Рассмотрим последовательность действий в этом методе на примере акций А, В и С. Подставим вычисленные ранее значения , и Ε(ri) для доходностей этих акций в выражения (3.8) и (3.10). Тогда наша задача сводится к следующей – необходимо найти минимальное значение величины

при следующих начальных условиях:

Для решения этой задачи составляется полипом Лагранжа L:

(Г1 и Г2 в этом полиноме называются множителями Лагранжа).

После этого вычисляются частные производные полинома по каждой неизвестной величине WA, WB, Wc, Г1, Г2 и приравниваются нулю:

В матричной форме эти уравнения представляются в виде

Если обозначить первую матрицу как T, вторую – как W, а третью – как Е, то можно это равенство записать в виде матричного уравнения:

Нам надо найти значения матрицы W, для чего необходимо определить матрицу T-1, являющуюся обратной матрице Т. Тогда W = Т~[ х Е. Для определения T-1 существуют специальные компьютерные программы. Вычислив все члены матрицы Т-1 и умножив матрицу T-1 на матрицу E получим выражения для WA, WB, WC•.

(3.11)

Используя эти выражения, можно найти веса ценных бумаг в портфеле из акций A, В и С с любой заданной величиной ожидаемой доходности. Задавая различные значения Е* и вычисляя каждый раз по формулам (3.11) величины Wi, можно таким образом найти эффективные портфели и определить в каждом случае их дисперсии и стандартные отклонения. Ниже в табл. 3.4 приведены значения ожидаемой доходности и стандартного отклонения для эффективных портфелей, составленных из акций А, В и С.

Таблица 3.4

Ожидаемые доходности и стандартные отклонения для различных эффективных портфелей

Ожидаемая доходность портфеля Е

(rпортф)

0,1208

0,1300

0,1400

0,1500

0,1600

0,1700

0,1940

Стандартное отклонение σ

0,0440

0,0500

0,0654

0,0857

0,1081

0,1316

0,1894

Поскольку приведенные в табл. 3.4 данные соответствуют эффективным портфелям, то на этом основании можно построить границу эффективных портфелей (рис. 3.2).

Граница эффективных портфелей

Рис. 3.2. Граница эффективных портфелей

Как очевидно из рис. 3.2, заданной величине риска портфеля, положим, σ* соответствуют два эффективных портфеля 1 и 2. Однако согласно теореме Марковица инвестор должен предпочесть портфель 2, обеспечивающий более высокую ожидаемую доходность при одинаковом уровне риска. Аналогично инвестор поступит и при иных величинах σпортф. Тогда очевидно, что инвестору вообще не имеет смысла строить нижнюю ветвь границы эффективных портфелей (ГЭП), расположенную ниже точки R. Портфель R соответствует портфелю с минимальной дисперсией (МVР). В связи с этим при построении границы эффективных портфелей рекомендуется предварительно вычислить характеристики MVP, а затем при вычислении величин весов акций в выражения (3.11) подставлять E* ≥ E(rMVP).

Веса MVP можно находить следующим способом: в исходной матрице Т вычеркнуть строку и столбец, соответствующие ограничению Е* (в нашем случае это четвертая строка и четвертый столбец), и получить матрицу (Т-1):

После этого надо найти обратную матрицу (T-1)-1

Коэффициенты в первых трех строках последнего столбца этой обратной матрицы составят веса портфеля с минимальной дисперсией: WA = 0,5196; WB = 0,4077; WC=0,0727. По этим весам можно найти характеристики портфеля с минимальной дисперсией: E(rMVP) = 0,1208, σ2Α7,= 0,001946.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика