Меню
Главная
УСЛУГИ
Авторизация/Регистрация
Реклама на сайте
Ожидаемая доходность и риск портфеля в случае безрискового займаОжидаемая доходность и риск портфеля с учетом безрисковой компонентыОпределение доходности и риска отдельной акции портфеля
Индексная модель ШарпаМодель ШарпаИспользование модели Шарпа для построения границы аффективных...
Соотношение риска и доходности портфеля. Граница эффективных портфелейОпределение границы эффективных портфелей. Выбор оптимального портфеляИспользование модели Шарпа для построения границы аффективных...
 
Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Как установлено, ожидаемая доходность портфеля, состоящего из п ценных бумаг, вычисляется по формуле

где Wi – вес ценной бумаги в портфеле.

Подставим в эту формулу выражение из формулы (3.17):

Выделим в этом равенстве слагаемые, на которые не оказывают воздействие изменения рынка и которые зависят от рыночных показателей:

(3.21)

Для придания этой формуле компактности Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (п + 1)-й акции в портфеле. В таком случае второе слагаемое уравнения (3.21) можно представить в виде

где (3.22)

(3.23)

При этом считается, что дисперсия ошибки (п + 1)-й акции портфеля равна дисперсии рыночной доходности:

Выражение (3.22) представляет собой сумму взвешенных величин "беты" () каждой ценной бумаги (где весом служат ) и называется портфельной бетой (). С учетом выражений (3.22) и (3.23) формулу (3.21) можно записать так:

(3.24)

Итак, ожидаемую доходность портфеляможно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров а; каждой пенной бумаги – (), что отражает вклад в самих ценных бумаг;

б) компоненты , т.е. произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля. Как известно, дисперсию портфеля можно представить в виде

Если вместо значений и подставить в это равенство выражения (3.19) и (3.20):

провести соответствующие вычисления и воспользоваться условностью (3.22), то можно показать, что дисперсия портфеля представляется в виде

(3.25)

При этом необходимо иметь в виду, что т.е.

Значит, дисперсию портфеля, содержащего п акций, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) – взвешенной величины дисперсии доходности рыночного портфеля , где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

Исходя из изложенного, можно аналогично тому, как это делалось выше, показать, что с увеличением числа ценных бумаг в портфеле первая часть риска портфеля будет стремиться к нулю. Поэтому диверсификация портфеля приводит к уменьшению риска, связанного с нестабильностью самих ценных бумаг, оставляя лишь компоненту, зависящую от нестабильности самого рынка.

Формулирование цели инвестора в модели Шарпа

Напомним, что в модели Марковица цель инвестора формулировалась следующим образом.

Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

при заданных начальных условиях

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему. Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(3.26)

при следующих начальных условиях:

(3.27)

(3.28)

(3.29)

В обеих моделяхинвестор стремится минимизировать дисперсию портфеля при заданной доходности портфеля Е* (первое условие), имея в виду, что сумма долей начальных инвестиций, направляемых им на приобретение ценных бумаг в портфеле, равняется единице (второе условие). Однако модели имеют и существенное различие:

• во-первых, по-разному представлены формулы для вычисления и ;

• во-вторых, имеется дополнительное четвертое ограничение, которое вводит портфельную бету как вес рыночного показателя.

Построение границы эффективных портфелей

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа.

1. Выбрать п ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.

2. По рыночному индексу (например, индексу ММВБ) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.

3. Определить величину дисперсии рыночного портфеля , а также значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной доходностью и найти величины:

4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги и доходности рыночного портфеля и вычислить параметр:

5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели.

6. Подставить эти значения в уравнения (3.26)-(3.29).

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса акций портфеля. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля Е*, можно решить систему уравнений (3.26)-(3.29) с использованием множителей Лагранжа.

Рассмотрим пример построения границы эффективных портфелей, состоящих из акций А, В и С. Задача инвестора в этом случае сводится к следующему: необходимо минимизировать выражение

при следующих начальных условиях:

Подставим вычисленные ранее значения и в эти выражения:

Решение этой задачи с использованием множителей Лагранжа дает следующие результаты:

Таким образом, поставленная задача была решена: для любого выбранного уровня ожидаемой доходности портфеля Е* инвестор может найти веса каждой ценной бумаги и сформировать портфель, имеющий минимальный риск. Значит, инвестор в состоянии построить границу эффективных портфелей, а затем, наложив на нее карту кривых безразличия, определить оптимальный портфель.

Для нахождения весов ценных бумаг Wi необходимо предварительно составить полином Лагранжа:

где – множители Лагранжа. Затем берутся семь частных производных полинома L по каждой из семи неизвестных , а также и приравниваются к нулю:

В матричной форме эти семь уравнений записываются в следующем виде:

Представим это в виде матричного уравнения:

Для нахождения веса необходимо вычислить на компьютере матрицу , обратную матрице Т, и решить уравнение , т.е. каждую строку обратной матрицы умножить на столбец Е. Веса для MVP портфеля вычисляются путем нахождения обратной матрицы , где – матрица без пятой строки и пятого столбца, соответствующих ограничению Е*.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика