Математический комментарий 1.Простой и сложный процент. Дисконтирование

Представьте себе такой абсолютно фантастический пример. Предположим, в год Рождества Христова вы (точнее, ваши далекие предки) положили 5 руб. (предположим, что в это время рубли уже были в обращении) в некий банк (некие предшественники современных банков в это время были точно) под 2% годовых. Предположим далее, что этот банк благополучно дожил до текущего момента и все это время прилежно начислял проценты по вашему вкладу. Сколько денег будет у вас на счету к настоящему моменту, 2016 лет спустя?

Ответ зависит от того, как начислялись проценты, по схеме простого или сложного процента. Если использовался простой процент, каждый год начислялось 2% от исходной суммы в 5 руб. Два процента (иначе говоря, две сотых части) — это 0,02 от начальной суммы:

5 0,02 = 0,1 руб.

Такие начисления были произведены 2016 раз, так что, забрав вклад в банке, вы получите исходную сумму в 5 руб. + 2016 раз по 0,1 руб., т.е.

5+ 2016 0,1 = 206,6 руб.

В общем виде, если вы, используя схему простого процента, кладете в банк сумму в руб., на Глет, с начислением в конце каждого года г процентов (гудобнее выражать как сотые доли, т.е., скажем, семи процентам будет соответствовать г = 0,07), то в конце срока вместе с процентами вы получите

Если же использовался сложный процент, результат будет значительно интереснее. В таком случае, при первом же начислении процентов они будут добавлены к исходной сумме (или, используя банковский термин, капитализированы). Таким образом, в конце первого года сумма на вашем счету вместе с капитализированными процентами составит

На следующий год проценты будут начислены уже не на исходную сумму в 5 руб., а на увеличенную, равную 5,1 руб. И в конце второго года у вас на счету будет

Аналогичным образом, через три года на счету окажется 5 • (1 + 0,02)3 и т.д. В итоге, через 2016 лет в вашем распоряжении будет

В общем виде, если вы, используя схему сложного процента, кладете в банк сумму в Б0 руб., на Т лет, с начислением в конце каждого года г процентов, то в конце срока вместе с процентами вы получите

С помощью последней формулы мы установили связь между исходной суммой, 50, в настоящий момент и эквивалентной ей суммой, 5Г, Т лет спустя. Зная сумму в настоящем, мы можем перейти к сумме в будущем по формуле 5Т =50 • (1 + г)т. И наоборот, зная сумму в будущем, мы можем рассчитать сумму, эквивалентную ей в настоящий момент, как

Операция, проводимая по последней формуле, называется дисконтированием. Вот пример дисконтирования: определим, чему в настоящий момент эквивалентна сумма в 1 000000 руб., которую вы получите два года спустя, при предположении, что на протяжении этих двух лет ставка процента будет неизменной и равной 5% годовых. Искомая сумма будет равна

Итак, получается, что «миллион через два года» эквивалентен более скромной сумме (907029,48 руб. при ставке процента, равной 5%), полученной немедленно.

Вернемся теперь к станку, который, как ожидается, будет приносить своему владельцу по 1 млн руб. ежегодно на протяжении десяти лет. Для того, чтобы определить, какой сумме в настоящий момент эквивалентны будущие миллионы, применим операцию дисконтирования, с которой мы познакомились в математическом комментарии 1 (ставку процента на протяжении всех десяти лет пока для простоты будем считать неизменной и равной 5% годовых). Первый миллион рублей дохода, который станок

принесет владельцу через год, будет эквивалентен руб., полученным немедленно, следующий миллион (через два года) будет эквивалентен , миллион, полученный через три года, — и т.д.

Доход, который в сумме принесет владельцу станок за десять лет, может быть рассчитан как

Суммарную величину, которая у нас получилась, в экономике называют текущей (или приведенной) стоимостью всех будущих доходов, и обозначают PV (от англ, present value).

Итак, для того, чтобы оценить сумму всех доходов которую принесет владельцу любой «долгоиграющий» ресурс, используют их текущую стоимость. И продавать ресурс владельцу будет иметь смысл, только если ему предложат сумму, сопоставимую с текущей стоимостью всех генерируемых им доходов. На этой идее основываются многие формулы, используемые для примерной оценки стоимости таких ресурсов. Пример вывода подобной формулы приведен в математическом комментарии 2.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >