Инструменты для моделирования событий

Целый класс задач моделирования связан с имитационным моделированием событий. Например, оценка отказоустойчивости сетевого узла, оценка надежности кластерной вычислительной системы и т.п. В основе моделирования лежит имитация элементарного события.

Имитация элементарного события. Пусть необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Эго может быть отказ элемента или узла устройства, поступление сообщения, поражение цели и т.п. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение Xj равномерно распределенной на интервале [0,1] случайной величины удовлетворяет неравенству:

Тогда вероятность события А будет

Противоположное событие состоит в том, что , его вероятность равна

1-р.

Пример 5. Пусть нам известна вероятность отказа устройства Р0 = 0,1. Смоделировать выпадение этого события можно, разыграв равномерно распределенное случайное число из диапазона от 0 до 1 и установив, в какой из двух интервалов (от 0 до 0,1 или от 0,1 до 1) оно попало (см. рисунок 2.10). Если число попадает в диапазон (0; 0,1], то устройство отказало, то есть событие произошло, иначе — событие не произошло (устройство работает). При значительном числе экспериментов частота попадания чисел в интервал от 0 до 0,1 будет приближаться к теоретической вероятности Р0 = 0,1, а частота попадания чисел в интервал (0,1] будет приближаться кРр = 0,9.

Имитационное моделирование простого события

Рис. 25. Имитационное моделирование простого события

Имитация полной группы событий. Несовместные события составляют полную группу, если суммарная вероятность их появления равна единице.

Рассмотрим группу событий. Пусть Л/, Л?,..., Л„ — полная группа событий, наступающих с вероятностями р/. р2.....р„ соответственно. Определим событие

Ат+/ как событие, состоящее в том, что выбранное значение Xj случайной величины, равномерно распределенной на интервале [0,1] удовлетворяет неравенству:

где

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел Xt со значениями /„,, /я+1. Если условие выполняется, исходом испытания оказывается событие Лт+/.

Описанный алгоритм называют алгоритмом «розыгрыша по жребию» (см. рис. 26).

Имитационное моделирование полной i руины событий

Рис. 26. Имитационное моделирование полной i руины событий

Имитация сложного события, состоящего, например, из двух независимых элементарных событий А и В заключается в проверке неравенств:

Здесь Х.х и Xj2 случайные числа, равномерно распределенные на интервале [0, 1]; р(, рд — вероятности наступления соответственно событий А и В.

В зависимости от исхода проверки неравенств делается вывод, какой из вариантов сложного события: АВ, АВ, АВ, АВ имеет место.

Имитация зависимых событии. В случае, когда сложное событие состоит из элементарных зависимых событий А и В имитация сложного события производится с помощью проверки следующих неравенств:

В зависимости от того, какая из этих четырех систем неравенств выполняется, делается вывод о том, какой из четырех возможных исходов: АВ. АВ. АВ. АВ имеет место.

Рассмотрим примеры имитации событий средствами системы ExtendSim.

Пример 6. Оценить надежность устройства, состоящего из двух узлов и элементов А, В. С (рис. 27). Узел выходит из строя, когда выходят из строя все элементы, входящие в узел. Устройство выходит из строя, когда отказывает хотя бы один из его узлов. Вероятности безотказной работы элементов равны соответственно: Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,6. Рассчитать вероятность безотказной работы устройства.

Схема устройства

Рис. 27. Схема устройства

Ниже приведены 2 варианта реализации модели работы устройства в среде ExtendSim (рис. 28—29):

Схема устройства (вариант модели 1)

Рис. 28. Схема устройства (вариант модели 1)

Схема устройства (вариант модели 2)

Рис. 29. Схема устройства (вариант модели 2)

При построении модели используются блоки, находящиеся в библиотеке Value. Их:

Random Number генерирует случайно число но заданному закону, например, генерирует либо 0, либо 1 с заданными вероятностями.

Math выполняет заданную математическую или логическую операцию над входными операндами и выдает результат.

Equation вычисляет значение заданной функции.

Holding Tank накапливает (суммирует) входные значения.

Constant генерирует постоянное заданное значение на каждом шаге. Значение задается в диалоговом окне настройки блока. Если вход (слева) подключен, то входное значение добавляется к постоянному (заданному в блоке) и на выходе появляется сумма этих значений.

Display Value отображает входное значение.

В первом варианте модели в блоках Random Number, соответствующих элементам устройства А,В,С генерируется случайное число равномерно распределенное (Uniform, Real) в диапазоне от 0 до 1. Далее в блоках Equation сравнивается сгенерированное число с заданной вероятностью работы элемента устройства. Например, для элемента А в диалоговом окне блока Equation в иоле формул задается выражение: outConO = inConO<0.8, переменные outConO и inConO соответствуют значениям на выходном и входном коннекторах блока. На выходе блоков Equation значение либо 0 — элемент не работает, либо 1 — элемент работает. В блоках Math реализуется логика работы устройства: And — И; or — ИЛИ. В верхнем блоке Holding Tank накапливается суммарное количество раз, когда устройства работало (п), в нижнем — общее количество тактов симуляции (/и). Вероятность работы устройства рассчитывается как отношение п/т, для чего используется блок Math в режиме Divide. Рассчитанная вероятность отображается с помощью блока Display Value. Количество тактов симуляции работы устройства задается в диалоговом окне Simulation Setup (пункт меню Run/Simulation Setup) в поле End time.

Во втором варианте модели используется меньше блоков. В блоках Random Number задается режим генерации случайных чисел в соответствии с эмпирической таблицей: Empirical Table. В таблице задаются значения (Value) и вероятность их генерации (Probability). Например, для элемента А: 0 — 0.2; 1 — 0.8. Таким образом, на выходе блока либо 0 — элемент не работает, либо 1 — устройство работает. Далее в блоке Equation задается логика работы устройства: outConO = (A or В) and С.

В результате моделирования работы устройства 1000 раз обе модели выдают близкие значения оценки вероятности его безотказной работы: 0,5764 (вариант 1) и 0,5794 (вариант 2). Рассчитаем теоретическую вероятность работы устройства: р = (1 - (1 - 0.8)*(1 - 0.7))*0.6 = 0,576. Таким образом, абсолютная погрешность оценки вероятности имитационными моделями невелика и составляет 0,0004 (вариант 1) и 0,0034 (вариант 2) по результатам одного прогона имитационной модели.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >