Случай нескольких независимых переменных

Для упрощения записи ограничимся случаем двух независимых переменных х, у. Пусть на плоскости хОу задана ограниченная односвязная область О с гладкой границей 5 (рис. 2.2). Пусть г = г(х,у) — непрерывно дифференцируемая функция, заданная в замыкании области О..

Рис. 2.2

Тогда множество точек {(х, у, г(х, у))(х, у)еО. будет представлять собой некоторую гладкую поверхность Хс!*3 с границей Г = {(х, у, г(х, у)) (х, у) е 5). Эту границу мы будем считать общей для всех рассматриваемых поверхностей X. Иными словами, все функции г = г(х,у) предполагаются имеющими одинаковые значения в соответственных точках границы 5 области О.

Рассмотрим далее функционал

Простейшая задача вариационного исчисления для функционала (2.2.9) ставится следующим образом: найти функцию z = z{x,y) (т.е. поверхность £) такую, чтобы для нее данный функционал принимал экстремальное (т.е. наименьшее или наибольшее) значение среди всех функций описанного выше типа.

Относительно функции F(x,y,z,p,q) будем предполагать, что она ограничена и дважды непрерывно дифференцируема в области {(x,y)eQ;(z,p,q)eR3}. Рассуждения, аналогичные проводимым обычно при выводе уравнений Эйлера (2.2.2, 2.2.2, а), приводят к следующему утверждению: всякая экстремаль z = z(x,y) функционала (2.2.9) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

с граничными условиями

где <р(х,#) — заданная функция на границе 5 области О.

Уравнение (2.2.10), как и предыдущие подобные уравнения, носит имя Эйлера. Обобщение этих результатов на случай большего числа независимых переменных не представляет особого труда.

В развернутом виде уравнение (2.2.10) выглядит так:

Примером подобной задачи может служить известная задача о нахождении гладкой поверхности минимальной площади, "натянутой" на заданную простую гладкую замкнутую пространственную кривую. Из матанализа известно, что площадь |£| поверхности I, задаваемой непрерывно дифференцируемой функцией г = г(х, у), (х, у) € й с Я, равна

а это, как легко видеть, и есть наш искомый функционал (2.2.9). Дальнейшие действия описаны выше.

Функционально-аналитический подход к задачам вариационного исчисления

Как мы видели, вариационное исчисление — это раздел математики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при различных ограничениях, накладываемых на эти функции. Используемый при этом язык описания и инструменты исследования могут быть весьма разнообразны и заимствованы из теории дифференциальных уравнений, математической физики, функционального анализа и других разделов математики. Большое значение приобрело направление, родившееся внутри собственно классических вариационных задач, где исследование экстремумов проводится "методом вариаций", т.е. методом малого возмущения аргументов и функционалов. Современное вариационное исчисление включает в себя и задачи теории оптимального управления.

Однако функциональный анализ, в силу его большой общности, универсальности и удобства языка и методов, дает возможность использовать их для решения различных задач вариационного исчисления, рассматривая эти задачи с единой точки зрения. Ниже мы постараемся проиллюстрировать сказанное. Напомним прежде всего некоторые определения, важные для дальнейшего. Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиями векторного, метрического и нормированного, в частности евклидова и гильбертова, пространств, включая понятия полноты и сепарабельности, в объеме стандартных курсов математики хорошего технического вуза, а также с понятиями и основными свойствами линейных ограниченных и замкнутых операторов.

Определение 1.

Функционалом мы будем называть отображение произвольного множества X в множество действительных (И) или комплексных (С) чисел.

Если множество X наделено структурой векторного пространства, метрического пространства, упорядоченного множества, то возникают важные классы соответственно линейных, непрерывных, монотонных функционалов. В вариационном исчислении множество X, как правило, является подмножеством линейного нормированного пространства.

Определение 2.

Евклидовым пространством Е мы будем называть нормированное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение (■,-) (со стандартными свойствами), а норма элемента хеЕ задается формулой х = (х,ху/2.

Определение 3.

Полное бесконечномерное сепарабельное евклидово пространство // называется пространством Гильберта, или гильбертовым пространством.

Важным следствием условия сепарабельности гильбертова пространства является факт существования в нем (счетной) полной ортонормированной системы элементов.

Следующая теорема даст одно из важнейших свойств гильбертовых пространств.

Теорема 1.

Пусть Ф],ф>- — полная ортонормированная система элементов в гильбертовом пространстве Н. Тогда всякий элемент хеН единственным образом представляется в виде ряда Фурье х= £сА к, гаде ск = (х, А)фи ряд сходится по норме. При этом имеет место равенство Парсеваля

£1с*|2=1И-

Обратимся теперь собственно к обобщенной постановке задач в вариационном исчислении. Начнем с понятия вариации. Вариация — термин, введенный в математику Ж. Лагранжем для обозначения малого смещения независимого переменного, или функционала. Метод вариаций — метод исследования экстремальных задач, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяется функционал. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум функционала (отсюда и название "вариационное исчисление").

Пусть X — линейное нормированное пространство, МсХ и функционал /— действительный, т.е. отображает множество М в множество действительных чисел. Это предположение здесь оправдано, поскольку далее речь пойдет об экстремумах функционалов, а множество комплексных чисел не является упорядоченным.

Далее, пусть хеМ и линейное множество УхаХ таково, что для любых достаточно малых по норме элементов г>еУх сумма х+иеМ (для разных элементов хеМ множества V,- могут различаться). Такие элементы V в вариационном исчислении обычно называются вариацией независимой переменной х и обозначаются символом 8.г. Выбор соответствующих множеств М и V,. является важным этапом в постановке и решении вариационных задач.

Определение 4.

Пусть/ — действительный функционал, заданный на подмножестве М линейного нормированного пространствах Пусть хеМ и

где Д,.(г>) — линейный ограниченный (т.е. непрерывный) функционал от переменной V на множестве Ух (здесь х выступает в качестве параметра, и для различных элементов хвМ функционалы Д,.(а)могут различаться). Тогда функционал Дд-(г') называется (первой) вариацией функционала / в точке х и обозначается 8/,.(8л), или просто 8/,..

Подчеркнем еще раз, что Ъ/х является линейным функционалом от переменной 8.г, а не от х. В традиционной для вариационного исчисления 8-символике соотношение (2.2.13) запишется так:

Определенная выше вариация функционала 8/,.(8.г) = Дд(г.') носит еще название производной Фреше функционала /(.г) в точке х, а сам функционал /(х) называется дифференцируемым по Фреше в соответствующей точке.

В качестве примера рассмотрим функционал (2.2.1) простейшей задачи вариационного исчисления. Роль множества М играет здесь множество У/, а роль множества Ух — множество непрерывно дифференцируемых на промежутке [а, Ь] функций, принимающих на концах этого промежутка нулевые значения. Простые расчеты, при соответствующих предположениях о гладкости подынтегральной функции Б в (2.2.1), дают следующее выражение для вариации (производной Фреше) функционала./(*/):

В последнем равенстве учтено, что "(а) = и(Ь) 0 . =

Определение 5.

Говорят, что функционал /(х) достигает в точке х локального максимума (минимума), если для всех, достаточно малых по норме, допустимых вариаций Ъх независимой переменной выполняется неравенство /(х)>/(х + 8х) (соответственно /(£)< /(дЧбх)).

Одним из ключевых результатов вариационного исчисления является следующая теорема.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума функционала).

Если функционал /(.г) дифференцируем по Фреше и достигает в точке х своего (локального) экстремума, то его первая вариация (производная Фреше) в этой точке равна нулю.

Из этой теоремы, формулы (2.2.14) и леммы 1 немедленно следует уравнение Эйлера (2.2.2). Это, в частности, иллюстрирует тот факт, что метод вариации является эффективным инструментом исследования экстремумов функционалов.

Как указано в названии теоремы 2, она дает необходимое условие экстремума функционала. Это означает, что экстремаль следует искать лишь среди функций, для которых (первая) вариация функционала равна нулю. Для выделения же из этого множества функций, подозрительных на экстремум, "настоящих" экстремалей требуется дополнительное исследование.

Выше мы указывали, что функционально-аналитический подход позволяет с единой точки зрения описывать целые классы, на первый взгляд, совершенно различных задач, предоставляя и обосновывая единые методы, алгоритмы, инструменты их постановки, анализа и решения. Постараемся проиллюстрировать сказанное на одном важном примере из области математической физики.

Рассмотрим задачу об интегрировании уравнения Пуассона

в односвязной ограниченной области £2 плоскости (х, у) с кусочно-гладкой границей 5, при краевом условии

Нетрудно убедиться, что уравнение (2.2.15) совпадает с уравнением Эйлера для функционала

при том же краевом условии. Поскольку функционал (2.2.17) содержит только первые производные от искомой функции, а уравнение (2.2.15) требует наличия у функции и(х,у) вторых производных, естественно, возникает следующий вопрос: будет ли элемент й, реализующий минимум функционала (2.2.17), также иметь вторые частные производные? Для функционалов от функций одной переменной этот вопрос положительно решается с помощью леммы 2 (Дюбуа-Реймона). Для функций многих независимых переменных ответ на этот вопрос оказывается значительно более трудным и неоднозначным.

Не вдаваясь в детали и отсылая читателя за подробностями к книге С. Г. Михлина, укажем на один из возможных подходов к постановке задачи интегрирования уравнения (2.2.15), а именно: назовем обобщенным решением уравнения (2.2.15) экстремаль й(х,у) функционала (2.2.17), удовлетворяющую краевым условиям (2.2.16). В упомянутой книге С. Г. Михлина указаны условия, при которых такая функция будет дважды непрерывно дифференцируема и, следовательно, будет "обычным" решением уравнения (2.2.15). Мы, однако, сосредоточимся на нахождении обобщенного решения, ибо процедура его построения, с одной стороны, хорошо иллюстрирует возможности функционально-аналитического подхода, а с другой — дает нетривиальный пример одного из прямых методов вариационного исчисления (т.е. методов, не требующих для отыскания экстремумов функционалов непосредственного перехода к задаче отыскания решений соответствующих уравнений Эйлера).

Определение 6.

Пусть Н — гильбертово пространство, а линейное множество йсЯ - плотно в Н. Пусть линейный оператор Л:£)—>Я. Оператор Л называется положительным, если (Аи,и)>ОУиеО,и*о (здесь символом "о" обозначен нулевой элемент пространства Я). Оператор Л называется положительно определенным, если существует положительная постоянная у такая, что (Лы,ы)> уУиеИ. Отметим, что в комплексном гильбертовом пространстве всякий положительный оператор симметричен, т.е. (Аи,ю) = (и,Аг>) £>. В вещественном гильбертовом пространстве это не так. Мы далее будем рассматривать только вещественные гильбертовы пространства, т.е. при необходимости симметричность положительного оператора будет оговариваться особо.

Имеет место следующая замечательная теорема.

Теорема 3.

Пусть А — положительный симметричный оператор в гильбертовом пространстве Н с областью определения, плотной в Н. Рассмотрим уравнение

Тогда:

  • 1) уравнение (2.2.18) имеет не более одного решения;
  • 2) если уравнение (2.2.18) имеет решение, то это решение сообщает функционалу

наименьшее значение. Обратно, элемент, реализующий минимум функционала (2.2.19), удовлетворяет уравнению (2.2.18).

В качестве примера вновь рассмотрим уравнение Пуассона (2.2.15):

с прежним краевым условием (2.2.16). В качестве гильбертова пространства // возьмем вещественное пространство квадратично суммируемых функций, заданных на П: £2(й). Напомним, что в этом пространстве скалярное произведение и норма задаются формулами

В качестве оператора А возьмем оператор -А, а в качестве его области определения Б — множество функций С(0), дважды непрерывно дифференцируемых на Й и равных нулю на границе 5 множества О. Можно доказать, что замыкание С'2(Й) = 12( )фт.е. область определения нашего оператора плотна в Н = Ь( ). ЗЯ имеет место следующая теорема.

Теорема 4.

Оператор А = -Д — это симметричный положительно определенный оператор на своей области определения В = СС). О.

Таким образом, в рассматриваемом случае справедлива теорема 3, из которой заключаем, что задачу отыскания решения уравнения Пуассона (2.2.15) с краевыми условиями (2.2.16) можно заменить задачей нахождения минимума функционала (?(") при тех же краевых условиях (см. (2.2.17)).

Вернемся теперь к общей постановке задачи о минимуме функционала (2.2.19) в условиях теоремы 3. Опишем алгоритм "прямого" отыскания точки, доставляющей минимум этому функционалу, следуя упомянутой выше книге С. Г. Михлина.

Итак, пусть А — положительно определенный (см. определение 6) симметричный оператор в вещественном гильбертовом пространстве Я с областью определения Д плотной в //. Па множестве О определим новое скалярное произведение [и, у], полагая

Нетрудно проверить, тю її силу такого определения О превращается в новое гильбертово пространство, которое мы будем обозначать через //,,. норму в Я, будем обозначать символом и,, гак что II нл

Из положительной определенности оператора А вытекает следующее важное соотношение между нормами в Я и Нл:

Если пространство Нд окажется неполным, то мы обычным способом пополним его. Множество Б при этом будет плотным в Нл. Имеет место следующая важная теорема, принадлежащая К. Фридрихсу.

Теорема 5.

Все элементы пространства НА принадлежат также и пространству Я.

Иными словами, пополнение пространства НА можно произвести за счет элементов пространства Я.

Обратимся теперь к нашей основной вариационной задаче для функционала (2.2.19):

и несколько изменим ее постановку, так как правая часть (2.2.19) определена только на множестве Д а па этом множестве минимум функционала ^(") может и не достигаться, так как множество Э неполно. Поэтому мы преобразуем правую часть (2.2.19) таким образом, чтобы функционал Г(") можно было доопределить на всем пространстве Нл. С этой целью заметим, что если /— фиксированный элемент из Я, а и — произвольный элемент из IIА, то ф(и) = (/,м) — ограниченный функционал на Нл, поскольку в силу формулы (2.2.22)

Но тогда по известной теореме Ф. Риса существует единственный элемент и„ е НА такой, что

Функционал (2.2.19) можно теперь переписать в виде

Формула (2.2.24) первоначально установлена для г/еО, но правая часть (2.2.24) имеет смысл для всех иеНл. Таким образом, мы расширяем функционал Р(и) на все пространство Нл и ищем минимум Р(") на Нл. В этом и состоит обобщенная постановка вариационной задачи. Но эта задача решается без особого труда. Действительно, формулу (2.2.24) легко привести к виду

откуда видно, что минимум F(u) достигается при и = и0, и этот минимум равен minF(w) = -fl"o|2,-

Осталось ответить на вопрос, как построить элемент и0, решающий основную вариационную задачу. Поскольку Нл — гильбертово пространство, то в нем существует полная ортонормированная система (последовательность) элементов {ф„}~. Тогда, в силу теоремы 1 всякий элемент пространства Нд, в частности элемент и0, реализующий минимум функционала ?(м) = [м, и 2(м,/), можно разложить в ряд Фурье

сходящийся в метрике пространства Нл. Полагая в формуле (2.2.23) и= %, получим

Подставив это соотношение в (2.2.26), получим формулу

определяющую решение основной вариационной задачи для функционала (2.2.19). Ряд (2.2.27) сходится в метрике пространства НА и тем более в метрике пространства Н.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >