Статистические методы моделирования систем

Характеризуется основной понятийный аппарат статистических методов, особенности и возможности применения. Рассматриваются направления, возникшие на базе статистических представлений: теория математической статистики, статистические закономерности и их применение, теория статистических испытаний или статистического имитационного моделирования, теория выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда. Кратко излагаются элементы теории массового обслуживания.

Основной понятийный аппарат статистических методов

Статистические представления сформировались как самостоятельное научное направление в середине XIX — начале XX в., хотя возникли значительно раньше. Они базируются па теории вероятностей, которая имеет достаточно длительную историю становления и сформировалась в самостоятельное направление в XVI в. (Б. Паскаль, П. Ферма), а вскоре вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных.

Важный вклад в теорию вероятностей внес Я. Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX в. теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; П. Лаплас и С. Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX в. основной вклад внесли П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной А. II. Колмогоровым.

Основу статистических методов составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями.

Термин "стохастические" уточняет понятие "случайный", которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся каким-то закономерностям, но и единичных событий. Процессы же, отображаемые статистическими закономерностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, определенными причинами, а "случайность" означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин.

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить символическим образом, как бы в виде "размытой" точки (размытой области) в замерном пространстве, в которую переводит учитываемые в модели свойства системы оператор Ф|5Х| (рис. 3.1). Границы области заданы с некоторой вероятностью рх ("размыты"), и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Рис. 3.1

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, получим срез по линии а—b, смысл которого — воздействие данного параметра на поведение системы, которое можно описать статистическим распределением по этому параметру, одномерной статистической закономерностью. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т.д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х} и их вероятностями pi называют законом распределения и либо записывают в виде ряда (табл. 3.1), либо представляют в виде зависимостей F(x) (рис. 3.2, а) или р(х) (рис. 3.2, в).

Таблица 3.1. Закон распределения

Закон распределения

Рис. 3.2

При этом

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения — рис. 3.2, б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения рис. 3.2, г).

В этом случае

где р(х) — вероятность попадания случайных событий в интервал от х до х + Ах.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы.

Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками — начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

1) 1-й начальный момент — математическое ожидание или среднее значение случайной величины:

2) 2-й центральный момент — дисперсия случайной величины:

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования: функции распределения

и плотности вероятности

В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис 3.2, более подходящий для соответствующих приложений.

На практике иногда используется не дисперсия а|, а среднее квадратическое отклонение ах. Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией — моментом связи; для двумерного распределения обозначается со'(х, у), или тХ!Г или М[(х - тх)(у - ту).

Можно использовать ковариацию нормированных отклонений — коэффициент корреляции

где .г7 = (х — тх)/ал, у' = (у-ту)/оу — нормированные отклонения; о,-, ау — среднеквадратические отклонения. Основные статистические закономерности приведены в табл. 3.2.

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т.е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т.е. с определением, являются ли элементы, входящие в нее, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной).

Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом. Уменьшение объема выборки можно получить на основе эргодического свойства, т.е. путем увеличения длительности статистических испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования).

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий, которые можно разделить на четыре основные группы, главные идеи которых кратко характеризуются в параграфах 3.2—3.5:

  • 1) математическая статистика (параграф 3.2);
  • 2) теория статистических испытаний (параграф 3.3);
  • 3) теория выдвижения и проверки статистических гипотез (параграф 3.4);
  • 4) теория массового обслуживания (параграф 3.5);

Таблица 3.2

5) теория потенциальной помехоустойчивости, которая обобщает третье и четвертое направления теории статистических решений. В ее рамках, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений; начала теории положены работами В. А. Котельникова, проводимыми независимо от теории решающих функций.

Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико-прикладной характер и возникали из потребностей практики. На их основе развивается ряд прикладных научных направлений: экономическая статистика, теория массового обслуживания, статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т.п.

На базе статистических представлений развивается информетрия, закономерности которой важны для прикладной информатики и других специальностей, связанных с разработкой информационных систем.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >