Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Посмотреть оригинал

Области в комплексной плоскости

Напомним основное определение. Множество D<=C называется областью, если:

  • 1) вместе с каждой своей точкой оно содержит и некоторую окрестность этой точки, т.е. является открытым множеством;
  • 2) для любых двух точек a,beD существует лежащий в D путь с концами в этих точках, т.е. D является, как говорят в топологии, линейно связным множеством.

В литературе можно найти и такую форму условия 2): любые две точки области можно соединить ломаной, целиком лежащей в области.

Сделаем одно замечание по поводу терминологии. Связное множество в топологическом (в частности, метрическом) пространстве, - это множество, обладающее, по определению, следующим свойством: при любом его разбиении на два непустых неиересекающихся подмножества хотя бы одно из них содержит предельную точку другого. Другими словами, множество связно, если оно не содержит непустого собственного подмножества, которое является одновременно открытым и замкнутым. Например, на плоскости отрезок связный, гипербола - нет. Оказывается, что любое линейно связное множество является связным, но обратное, вообще говоря, не верно. Однако для открытого множества эти понятия совпадают: для того, чтобы открытое множество в комплексной плоскости было связным, необходимо и достаточно, чтобы оно было линейно связным. Этот результат здесь не доказывается. Об этом смотрите, например, страницы 88-92 книги: Л.Шварц. Анализ. Том

1.-М.: Мир, 1972.-824 с..

Объединение области D и ее границы 6D - это, по определению, замыкание области, обозначаемое символом D (предполагается, что понятие границы известно читателю из курса математического анализа). Внутренностью множества (ядром) называется множество всех его внутренних точек.

Область называется односвязной, если сс граница является линейно связным множеством (заметим, что такое понятие не является общепринятым); в противном случае область называется многосвязной. На рис.5а) множество точек между соприкасащимися (внутренним образом) окружностями - односвязная область (ее граница линейно связная). Множество на рис.56), являющееся объединением двух соприкасающихся (внешним образом) открытых кругов, не является связным, но его замыкание связно в указанном смысле.

Рис. 5

На рис 6а) изображена четырехсвязная область (заштрихована), ее граница состоит из четырех частей: окружности с отрезком и трех окружностей.

Рис. 6

Область на рис.66) - квадрат (0;1)х(0;1) с выброшенными отрезками

Эта область является бесконечно связной.

Замечено, что в литературе наблюдается разнобой в понятии жордано- вой области. Чаще всего такой областью называется область, граница которой состоит из конечного числа замкнутых жордановых кривых (рис7а)).

Рис. 7

Роль таких кривых раскрывается следующей теоремой Жордана (1882 г.).

Теорема. Замкнутая жорданова кривая Г делит комплексную плоскость на две односвязные области, одна из которых ограничена и называется внутренностью Г, другая, неограниченная, называется внешностью Г.

На рис.7б) внутренность помечена штрихами на северо-восток, внешность - штрихами на юго-восток.

Эта теорема кажется очевидной, но ее доказательство потребовало очень тонких рассуждений; даже в случае, когда кривая является многоугольником, они остаются сложным.

Итак, замкнутая жорданова кривая разбивает плоскость на две части. При этом две точки, принадлежащие одной и той же части, можно соединить путем, не пересекающим кривую; любой путь, соединяющий точки из разных частей, пересекает кривую (рис.7б)).

В дальнейшем будет использован следующий также очевидный (но не доказываемый) факт. Внутренность D замкнутой жордановой кривой обладает свойством: любую замкнутую кривую yaD можно непрерывной деформацией, не выходя за пределы области, стянуть в точку, принадлежащую

D. Этим свойством обладает, например, открытый круг, и нс обладает тот же круг с проколотым центром. Точный смысл стягиваемости требует понятия гомотопности кривых; соответствующий материал можно найти, например, в работе [16, стр. 92-94], который послужил бы темой для курсовой или выпускной работы. Отметим здесь без доказательства следующее утверждение: для того, чтобы любая замкнутая кривая, лежащая в данной области D<=C, была гомотопна нулю (т.е. стягиваема в точку из области), необходимо и достаточно, чтобы область была односвязной.

В ряде случаев бывает известно, что замкнутая граница Г жордановой области не задается явно ни одним из путей. Тогда обычно указывается направление на Г: оно считается положительным, при котором внутренность кривой остается слева при движении по ней. При рассмотрении криволинейных интегралов замкнутую спрямляемую жорданову кривую часто называют контуром.

Замечено, что на зачетах и экзаменах по ТФКП студенты испытывают затруднения при изображении областей в комплексной плоскости. Для этого существует несколько способов. Рассмотрим здесь только случай, когда область задается одним или несколькими неравенствами.

Пример. Найти множество точек комплексной плоскости, задаваемое неравенством

Решение. Здесь знак неравенства заменим знаком равенства. Полагая

z - х+yi, получим (дг - З)2 + у2 = 4[(х +1 )2 + у2 ]. Отсюда + ^)2 + у2 = ^.

Получили уравнение окружности, которая разбивает плоскость на две части - ее внутренность D, и внешность ?>,. Для выяснения знака неравенства возьмем в первой области, например, точку z = 0, во второй - точку z- 2. Вычисления подскажут ответ: искомым множеством является открытый круг

8 7

радиуса - с центром z = --.

Приведем задачи для самостоятельной работы. В них требуется найти и изобразить на чертеже множества точек комплексной плоскости, заданных неравенствами.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы