Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Посмотреть оригинал

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ГОЛОМОРФНОСТЬ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Сделаем небольшой экскурс в дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных, ограничиваясь случаем двух независимых переменных.

Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (.v0;y0)e/?2. При достаточно малых приращениях Дх, Ду точка (л0 + Дх; у0 + Ду) не покидает эту окрестность, поэтому определено полное приращение функции

которое короче будем обозначать Дf. Функция называется дифференцируемой в точке (лг0;_у0), если ее приращение можно представить в виде

где а,Ь - некоторые постоянные, а$ - функции от приращений, являющиеся бесконечно малыми при Дх—»0,Ду—>0 и обращающиеся в ноль при Да- = Ду = 0.

Равенство (4.1) имеет место тогда и только тогда, когда с теми же коэффициентами возможно представление

где р = у](Ах)2 + (Ду)2, у —» 0 при Дх, Ду —> 0, у(0,0) = 0.

Очевидно, из дифференцируемости функции в точке (.х0»7о) вытекает существование в этой точке частных производных

а обратное не верно. Известно достаточное условие дифференцируемости - наличие непрерывных частных производных в окрестности точки (-Х0,_у0) •

Вернемся к функции комплексного переменного z = x + yi. Пусть функция /(z) определена в окрестности точки

z0, и(х;у) = Re/(z), v(,v;y) = Im(z). Рассмотрим следующие определения.

Функция называется дифференцируемой в точке z0 = x0 + iy0 в смысле действительного анализа (R- дифференцируемой), если ее действительная и мнимая части и(х9у), v(x,y) обе дифференцируемы в точке (*0;_у0) в вышеуказанном смысле.

Положим Дг = Дг + /Ду. Функция называется дифференцируемой в смысле комплексного анализа в точке z0 (С - дифференцируемой), если се приращение A/'(z0) = /(z0 + Az)-/(z0), которое записываем далее А/’, можно представить в виде

где сеС - некоторая постоянная, у - бесконечно малая функция от Az при

Az^>0 у(0)=0. Здесь константа с является пределом отношения — при

Az

Az —>0, то есть, по определению и по аналогии с одномерным действительным анализом, производной функции /(z) в точке z0, обозначаемой / (z0). Как и в одномерном анализе, получаем следующее утверждение: для того, чтобы функция /(z) была С - дифференцируемой в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы у нее в этой точке существовала конечная производная

Функцию, имеющую производную в данной точке, называют также моногенной в этой точке.

Мы видим, что определение производной функции комплексного переменного такое же, как и в действительном анализе. Поэтому в комплексный анализ переносятся элементарные правила дифференцирования (производные суммы, произведения и т.д.). Нет смысла останавливаться на их формулировках и доказательствах.

Оказывается, что большой произвол в способе стремления Az —> 0 приводит к тому, что даже очень простые функции комплексного переменного могут не иметь производной. Примером является функция f(z) = x + 2y (х = Rez, у = Imz). Обратите внимание: функция непрерывна всюду в С, но ни в одной точке у нее нет производной! В действительном одномерном анализе аналогичные функции строились с большим трудом (примеры Вейерштрасса, Пеано, Ван дер Вардена и др.).

Связь между указанными видами дифференцируемости комплекснозначной функции дает следующее утверждение.

Теорема. Для того, чтобы функция w= /(z), где z = x+yi,w=u + iv, была С - дифференцируемой в точке z00+ iy0, необходимо и достаточно, чтобы функции и = и(х9у)9 v = у(л;,д>) были R - дифференцируемы в точке (*00) и в ней выполнялись условия Коши-Римана

Доказательство. Покажем, что из С - дифференцируемости вытекает R - дифференцируемость и условия (4.3). Имеем: Aw=c-Az + y-Az. Обозначим

Получим

Так как Aw=Au +1 Av, то, вспоминая равенство комплексных чисел, отсюда Или, подгоняя под равенство (4.1),

Эти равенства означают дифференцируемость функций u,v в точке (x0;y0)eR2. Вспоминая смысл коэффициентов в (4.1), запишем равенства

Отсюда вытекают условия Коши-Римана.

Докажем далее, что, наоборот, R - дифференцируемость при наличии условий (4.3) влечет С - диффсрснцирусмссть. Дважды воспользуемся записью дифференцируемости в форме (4.1а):

где

а бесконечно малые а,р (при Ах—>0, Ау —>0 ) обращаются в ноль при нулевых приращениях. Имеем:

Здесь сумму первых двух слагаемых можно записать в виде

+ Ы) ? (Ах + i Ay). Обозначим с = а+Ы9 у = (а + fii)—,Az = Ах + /Ау. Заме-

Аz

тим, что здесь дробь есть величина ограниченная (по модулю нс превосходит единицы). Получим

А это и означает С - дифференцируемость функции w=/(z) в точке z0. Теорема доказана.

В качестве следствия отметим, что производная / (z0) = c = a + bi может быть найдена по формулам

Здесь все частные производные находятся в точке (дг0;_у0).

Заметим, что в литературе условия (4.3) часто называют условиями Да- ламбсра-Эйлсра. Эти условия и следствия из них впервые получил Даламбср в 1758 в задаче об обтекании твердого тела жидкостью. К этим условиям пришел также Эйлер (1755) в двух статьях по гидродинамике. Позднее эти условия Коши и Риман положили в основу изучения аналитических функций комплексного переменного.

На практике полезно учесть, что наличие непрерывных частных производных (первого порядка) у функций и(х,у), v(x,y) гарантирует их R - дифференцируемость, поэтому при решении задач на С - дифференцируемость можно поступить так: найти частные производные функций w,v, убедиться в их непрерывности в окрестности интересующей нас точки, а затем проверить, выполняются ли в точке условия Коши-Римана.

Пример. Исследовать на С - дифференцируемость функцию w = /(z) = z|z|2.

Решение. Действительная и мнимая части функции соответственно

равны

Имеем

Найденные частные производные непрерывны везде. Далее ищем точки, в которых выполняются условия (4.3). Получим систему

Итак, рассматриваемая функция дифференцируема в единственной точке z = 0. При этом

Мы убеждаемся в естественности понятия С - дифференцируемости. Однако, оказывается, сс наличие в одной лишь точке недостаточно для построения содержательной теории. Поэтому требуют С - дифференцируемость не в одной точке, а во все близких точках. Ввели следующее понятие.

Функция / называется голоморфной (регулярной) в точке zeC, если она С - дифференцируема не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности.

В примере, приведенном выше, функция R - дифференцируема везде, но дифференцируема в смысле комплексного анализа лишь в точке z = 0. Следовательно, в этой точке она не является голоморфной.

Функция /(z) = z2 голоморфна во всех точках комплексной плоскости. Действительно, частные производные непрерывны везде, условия Коши- Римана выполняются во всех точках (убедитесь в этом самостоятельно).

Заметим, что иногда вопрос о дифференцируемости функции можно решить проще, без применения условий Коши-Римана, так как основные правила дифференцируемости в действительном анализе справедливы и в

комплексном анализе. Например, для функции /(z) = ^-^ по правилу диф-

х-1

2

ференцирования частного получим (детали опущены) / (z) = —-.

Функция голоморфна везде, кроме точки z = 1.

В заключение приведем небольшую подборку задач к этой главе.

Задачи к главе 4

4.1. Следующие функции исследовать на дифференцируемость в смысле комплексного анализа:

4.2. Выяснить, в каких точках комплексной плоскости имеют производную указанные функции:

  • 4.3. Будет ли голоморфной в некоторой области функция w = х3 -3ху~ -/(> ' -Зх2) ? Если да, то найти ее производную в этой области.
  • 4.4. Доказать, что если функция /(z) голоморфна в области DczC и сс производная равна нулю в любой точке области, то в ней функция постоянная.
  • 4.5. Если функция /(z) голоморфна в области и хотя бы одна из функций

постоянная в области, то в ней функция есть константа.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы