Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Посмотреть оригинал

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Здесь из действительного анализа понадобится понятие криволинейного интеграла второго рода от функции двух действительных переменных. Приведем соответствующую символику и терминологию.

Говорят, что функция f(xty) непрерывна вдоль кривой Г с/?2, если для любого ?>0 найдется такое ?>0, что f(x],y])~ f(x2>y2) для любых двух точек (*,,_у,), 22) е Г, расстояние между которыми менее S.

Понятие одномерного определенного интеграла по отрезку можно многими способами перенести на случай, когда множеством интегрирования является плоская или пространственная кривая. Такого рода интегралы называются криволинейными. В приложениях принято рассматривать криволинейные интегралы двух типов (родов) - от выражений, имеющих скалярный смысл (интегралы первого рода) или смысл векторный (интегралы второго рода). Напомним определение интеграла второго рода для случая, когда кривая интегрирования не имеет точек самопересечения и участков самоналега- ния. Например, кривая вроде восьмерки для наших целей не годится, а кривая в форме буквы С подойдет.

Итак, пусть кривая Г 2 задана параметрически:

Кривая может быть не замкнутой с концами а,Ь - образами соответственно а,р при отображении (8.1), может быть и замкнутой (Ь = а). Предположим, что функции Р(х,уQ(x,y) определены вдоль кривой Г. Выберем сетку {/0[а,р] и каждому узлу tk сопоставим точку Мк с координатами хк = (p{tk),ук = j/(tk). Кривая распадается на п частичных дуг с концами

На каждом частичном отрезке [/*,/*+,]{к =0,1.....л-1) выберем по одной точке тк, положим <^к =<р(г*), tjk =у/(тк) и составим сумму

где Ахк = хк+у - хк, Аук = ук+хук. Если при стремлении мелкости сетки к нулю предел указанных сумм существует и конечен, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода (криволинейным интегралом по координатам) и обозначается символом

Физический смысл интеграла пояснялся в действительном анализе: пусть материальная точка движется в плоскости вдоль кривой Г под действием переменной силы (вектора с компонентами P,Q ), тогда интеграл (8.3) дает работу по перемещению точки из положения а в положение b.

Укажем без вывода теорему существования интеграла: если кривая Г спрямляемая, а функции P,Q вдоль нес непрерывны, то интеграл (8.3) существует. Если при этом кривая гладкая или кусочно гладкая, то интеграл сводится к обычному определенному интегралу по отрезку:

Смотрите об этом, например, пособие [7], стр. 319-321.

В теории интегрирования используется понятие контура. Это - спрямляемая замкнутая жорданова кривая. Из курса действительного анализа читатель, возможно, помнит о формулах Грина - формулах интегрального исчисления функций многих переменных, связывающих значения п - кратного интеграла по области и (я-1) - кратного интеграла по границе

Г =dG этой области. В простейшем виде криволинейный интеграл по контуру выражается через двойной интеграл но замыканию внутренности контура, который обходится против хода часовой стрелки:

Это равенство иногда связывают с Гауссом или Риманом, но это не является исторически верным, так как формула (8.5) встречалась еще у Эйлера (1771).

Перейдем к понятию интеграла комплекснозначной функции но кривой. Пусть дана спрямляемая жорданова кривая Г cz Сг с уравнением z = (p(t е[а,р] и определена функция / :Г —» Cw. Пусть {tk} - сетка на [ог,/?]Д = 0,1,...,л. Ей соответствует разбиение кривой Г на дуги {z = k).^, к = 0,1,...,л-1}. Пусть Тц - точка на fo,>*,,],?* =<р(тк). Составим сумму

Функция / называется интегрируемой по кривой Г, если существует конечный предел сумм (8.6) при стремлении мелкости сетки Я к нулю, т.с. существует комплексное число / со свойством: для любого €>0 существует такое S > 0, что при Я < S выполняется неравенство | / -51< ?. Число / - это и есть, по определению, интеграл от функции / вдоль (или по) кривой Г, обозначаемый символом J f(z)dz, а Г называется кривой интегрирования, г

Теорема. Если функция непрерывна вдоль спрямляемой жордановой кривой, то эта функция по кривой интегрируема.

Доказательство. В интегральной сумме (8.6) отделим соответственно действительную и мнимую части 5,,52. Полагая

получим

Они представляют собой интегральные суммы для криволинейных интегралов соответственно

Эти интегралы существуют по указанной выше теореме существования для криволинейных интегралов (8.3). Таким образом, если обозначить / = /, + il2, то

В процессе доказательства теоремы установлено не только существование интеграла, но и получено его представление через два криволинейных интеграла второго рода в смысле действительного анализа. В свою очередь формула даст возможность свести вычисление интеграла от непрерывной функции / вдоль гладкой спрямляемой жордановой кривой Г к вычислению двух интегралов Римана по отрезку. Пусть такая кривая задана уравнением z = z(t) = где /е[а,Д], начало и конец кривой соответственно а = z(a), b = z(p). Согласно (8.4)

аналогично записывается второй интеграл. Следовательно,

Или, что более кратко,

Заметим, что в некоторых руководствах по ТФКП это равенство сразу берется за определение интеграла (см., например работу [16, с.79]).

Пример. Пусть Г - это окружность z(t) = a + reu,tе[0,2тг] и / (z) = (z - а)" ,neZ. Имеем z ) = ire", f{z(t)) = гпеш. По формуле (8.8)

Следует рассмотреть два случая. При п*- получим

в силу периодичности показательной функции. Если же п = — 1,то /=/• 2п. Таким образом, целые степени z-a обладают так называемым свойством ортогональности:

которое в дальнейшем неоднократно будег использовано.

Перечислим основные свойства интеграла от комплексных функций, вытекающие из определения интеграла или равенства (8.8). Кривые интегрирования предполагаются гладкими или кусочно гладкими, функции вдоль них - непрерывными.

Ориентированность. При замене положительного направления пути интегрирования на противоположное знак интеграла изменяется:

Линейность. Если функции /,g интегрируемы вдоль кривой Г, то их линейная комбинация cif + bg (ci>b€ С) - также и

Аддитивность. Пусть даны две кусочно гладкие кривые Г,,Г2, заданные соответственно уравнениями z = (p(t z = y/(t)>t е[Д,/?2],

причем #>(/?,) = ^(Д). Объединением Г = Г,^Г2 этих кривых называется кривая с уравнением

Для непрерывной на Г функции /(z) непосредственно из определения интеграла следует, что

Это и есть свойство аддитивности. Продемонстрируем его на следующем примере.

Пусть /(z) = Rez, а пути заданы так:

Требуется вычислить интеграл от этой функции по объединению указанных путей.

Прежде всего для понимания сути дела следует сделать чертеж (предоставляем это читателю). Искомый интеграл равен

После очевидных упрощений приходим к сумме

Инвариантность. Одна и та же кривая может быть параметризована многими способами. Пусть кусочно гладкая кривая Г задана одним из путей определенного класса у :z = (p(t t е [а,/?]. Другой путь этого же класса /, :z = ^(r), г €[«,,/?,] получается из у допустимой заменой параметра: существует такое возрастающее кусочно гладкое сюръективное отображение (идентификатор путей) г:[«,/?]->[«,,/?,], что if/{r{t)) = (p{t) V7e[ar,/?]. Свойство инвариантности состоит в том, что для непрерывной на Г функции ее интегралы по путям уу одинаковы. Таким образом, при переходе к иной параметризации кривой значение интеграла по ней не изменяется - оно зависит лишь от функции / и кривой интегрирования Г. Здесь доказательство этого свойства не приводится. Оно основано на формуле замены переменной в определенном интеграле одномерного действительного анализа - смотрите, например, работу [16, с. 81-82].

Оценка интеграла. Пусть на кусочно-гладкой кривой Г функция /(z) непрерывна и на ней |/(z)|< А/ . Тогда

где | Г | — длина кривой. Это важное свойство достаточно проверить для интегральных сумм (8.6), так оно остается верным и в пределе для интегралов. Для интегральных сумм (8.6) по правилу «модуль суммы не превосходит суммы модулей» имеем | S |< f(?k | • | Azk |< МAzk |. Здесь справа сум-

к к

ма - это длина ломаной с вершинами zk, вписанной в Г. Длина ломаной, как известно, не больше длины кривой, поэтому | S |< Л/* | Г|.

Задачи к главе 8

8.1. Вычислить интеграл J|z|

г

  • а) прямолинейный отрезок с началом -1 и концом 1;
  • б) нижняя половина окружности | z |= 1 с начальной точкой z = -1.
  • 8.2. а).Найти интеграл jz2dz, где Г - ломаная с вершинами в точках

г

z = 0; z = 1 + /, z = 2 + /;

б). Вычислить интеграл f-т=dzy где кривая интегрирования есть верх-

;.Vz

няя половина окружности | z |= 1 с начальной точкой z = 1 и ветвь корня такова, что л/l = 1.

8.3. Вычислить интеграл /=j—dz> где кривая интегрирования - это

г 2

граница квадрата ABCD, вершины которого имеют комплексные координаты соответственно 1, /, -1,-/. Направление обхода положительное (против хода часовой стрелки).

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы