Методы проверки дискриминирующей способности рейтинговых показателей

Прежде чем оценивать мощность рейтинговой системы с готовым набором рейтинговых показателей, необходимо выбрать среди показателей наиболее значимые с точки зрения дискриминирующей способности. В настоящем подпараграфе рассматриваются оценки критериев отвержения гипотезы о неразделимости значений показателей с точки зрения «дефолт/ не дефолт». Задача состоит в следующем:

• • оценивается монотонный показатель X по выборке недефолтных значений х_х, х₂, ... x_N и дефолтных значений d_x, d₂, ... d_M для разных не связанных компаний-периодов;
• • требуется определить, верно ли утверждение, что в среднем значение X по выборке недефолтных компаний лучше (в смысле больше или меньше в зависимости от направления монотонности показателя X), чем по дефолтным. Если да, то на каком уровне значимости это можно утверждать;
• • отсутствует предположение о нормальности распределения X и Д а также равенстве их стандартных отклонений.

Традиционный статистический метод проверки однородности двух выборок X и D дается критерием Стьюдента.

Сначала вычисляются выборочные средние арифметические в каждой выборке:

затем выборочные дисперсии

и ^-статистика Стыодента, на основе которой принимают решение:

По заданному в данной формуле (3) уровню значимости а (обычно применяется значение, равное 0,05) и числу степеней свободы (М + N - 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_MN. Если |?| > t_MN, то гипотезу однородности (отсутствия различия показателя на подвыборках дефолтных и недефолтных компаний) отклоняют, если же И < t_MN, то принимают.

Для отбора степени значимости дискриминирующего свойства показателя целесообразно критерием выбрать само а, при котором

tfN ⁼ *•

Тогда наилучшими в смысле качества дискриминации будут показатели с минимальным а.

Однако традиционный метод проверки имеет ряд существенных недостатков, а именно для его применимости справедливо требование нормальности распределения X и Д а также равенство их стандартных отклонений. Данное требование не выполняется практически никогда.

Поэтому целесообразно усилить критерии еще одним, более общим двухвыборочным критерием Вилкоксона, или Манна — Уитни, который предназначен для проверки следующей гипотезы:

где Р(~.) — вероятность.

Без ограничения общности можно считать, что объем первой выборки не превосходит объема второй, М < N, в противном случае выборки можно поменять местами.

Статистика S двухвыборочного критерия Вилкоксона определяется следующим образом.

Все элементы объединенной выборки х_и х₂,... x_N, d_t, d₂,... d_M упорядочиваются в порядке возрастания. Элементы первой выборки d_{, d₂,... d_M занимают в общем вариационном ряду места с номерами R_u R₂,... R_M, другими словами, имеют ранги R_u R₂, ... R_M. Тогда статистика Вилкоксона — это сумма рангов элементов первой выборки:

Далее применяют статистику

которая при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).

Уровень значимости а отвержения гипотезы об однородности (совпадении) выборок X и D будет найден из уравнения

где Ф(...) — стандартное нормальное распределение.

К сожалению, оба критерия (Стьюдента и Вилкоксона) не рассматривают структуру альтернативной гипотезы о сути различий между выборками показателей, поэтому рассмотренные критерии необходимо применять с долей осторожности и принимать во внимание экономическую суть дискриминирующих показателей, которые действительно могут разделять компании на «плохие» и «хорошие». В подпараграфе 2.4.2 будут применены более общий графический критерий ROC и индекс дискриминации AR.