Уравнение неразрывности в гидродинамике

Первое из уравнений гидродинамики, с которым мы познакомимся, называется уравнением неразрывности. Оно имеет вид

Для доказательства этого уравнения рассмотрим некоторый объем V с постоянной формой и размерами. Этот объем схематически показан на рис. 1.

Рис. 1

Изменение массы М вещества в этом объеме за малое время dt есть

Здесь учтено, что по определению М = J ptfr и при постоянных границах объема операции интегрирования по объему и дифференцирования по времени можно менять местами.

Масса вещества в объеме V может меняться за счет двух механизмов. Первый — вещество появляется или исчезает из этого объема вследствие каких-либо физико-химических реакций. Второй — за счет его некомпенсированного потока через границы объема. Мы не будем рассматривать первый механизм, так как он крайне не типичен для гидродинамических явлений.

Для анализа второго механизма выделим на поверхности нашего объема маленькую (элементарную) площадку с площадью ds. Выберем размеры этой площадки настолько маленькими, чтобы, во-первых, считать ее локально плоской и, во-вторых, чтобы на ее размерах можно было пренебречь изменением скорости потока и плотности среды. Обозначим v вектор единичной нормали к этой площадке, направленный наружу из объема V. Обозначим vx = (v • v) проекцию вектора скорости v на нормаль v. Несложно показать, что за время dt через эту площадку из объема V наружу переходит масса вещества, равная

Круглые скобки в (3) и далее снова означают скалярное произведение векторов.

Чтобы получить полную массу вещества, пересекающую изнутри наружу всю границу S объема V, нужно проинтегрировать (3) по поверхности 5 рассматриваемого объема. Этот интеграл равен массе вещества, покидающего объем V за время dt, следовательно, он равен dM. Учитывая (2). получаем

По теореме Остроградского — Гаусса

Используя (5) в (4), приходим к равенству

При выводе равенства (6) мы нс делали никаких оговорок относительно формы или размера объема V, по которому проводится интегрирование. Следовательно, это равенство выполняется для любого объема интегрирования, что возможно, только если подынтегральные функции в (6) тождественно равны. Учитывая это, приходим к уравнению (1). Заметим также, что при выводе

этого уравнения мы не использовали никаких предположений о физических свойствах среды, кроме непрерывности изменения ее скорости и плотности. Поэтому уравнение (1) в приближении сплошной среды описывает связь скорости и плотности в любом веществе независимо от его физической природы.

Уравнение неразрывности (1) может быть упрощено в важном частном случае, когда движущуюся среду можно считать несжимаемой, т. е. пренебречь изменением ее плотности при гидродинамическом течении. Опыт показывает, что реальные жидкости обладают очень малой сжимаемостью — нужно приложить очень большое усилие, чтобы заметно изменить плотность жидкости. Поэтому, как правило, при решении задач гидродинамики жидкости рассматриваются как несжимаемые среды. Полагая в (1) плотность р постоянной величиной, получаем

Соотношение (7) называется уравнением несжимаемо с т и. Уравнения неразрывности недостаточно, чтобы найти две скалярные величины — плотность жидкости и давление в ней, а также три компоненты скорости течения. Уравнения, необходимые для замыкания задачи, обсуждаются в следующих главах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >