Применение теорем Бернулли и Томсона в гидродинамике идеальной жидкости

В этом параграфе рассмотрим два примера использования теорем Бернулли и Томсона для решения задач гидродинамики идеальной жидкости.

Трубка Вентури. Представим себе, что по некоторой трубе течет жидкость, которая с хорошим приближением может рассматриваться как идеальная. Критерии, когда возможно использование такого приближения, мы обсудим позже, при изучении течений реальных вязких жидкостей. Допустим, что нам нужно измерить скорость течения жидкости в трубе. Устройство, позволяющее это сделать, схематично показано на рис. 6. Оно называется трубкой Вентури. Широкая часть соответствует основной части трубы, узкая — врезка, служащая для определения скорости в широкой, основной части течения. Все величины, относящиеся к широкой части трубы, мы будем отмечать индексом 1, к узкой — 2.

Рис. 6

При использовании трубки Вентури предполагается, что мы можем измерить разность давлений р{- р2 в обеих частях канала. На рис. 6 эта возможность проиллюстрирована двумя манометрами.

Предположим, что в основной части потока слева от узкой врезки течение безвихревое. Тогда по теореме Томсона оно будет безвихревым и во врезке, а также правее ее. Пренебрегая изменением потенциальной энергии жидкости при переходе от узкой части канала к широкой, из теоремы Бернулли (20) имеем

Для несжимаемой жидкости уравнение (22) может быть дополнено уравнением

где S', , — площади сечения соответствующих участков трубы. При известной разности р, - р2 соотношения (21), (22) можно рассматривать как систему из двух уравнений относительно скоростей vpv2. Решая се, легко находим

Задача об истечении жидкости из сосуда. Рассмотрим открытый цилиндрический сосуд с площадью сечения S, в котором находится жидкость. Внизу сосуда просверлено отверстие площадью s Нам нужно определить скорость v истечения жидкости из сосуда и скорость v0, с которой опускается уровень жидкости.

Обозначим h высоту уровня свободной поверхности жидкости над отверстием. Учитывая разность потенциальных энергий жидкости на высоте свободной поверхности и на уровне отверстия, а также то, что на свободной поверхности и в выходном отверстии давление жидкости равно атмосферному давлению, запишем уравнение Бернулли в виде

Аналогично (23) запишем уравнение неразрывности:

Поскольку .9 <$: S, скорость v0 движения уровня свободной поверхности много меньше скорости v истечения жидкости из сосуда, поэтому в уравнении (24) можно пренебречь v0. В результате

Обратим внимание на то, что точно такой же результат получился бы для скорости тела, падающего с высоты А, а уравнение (24) в точности совпадает с законом сохранения энергии для падающего тела. Скорость v0 движения поверхности жидкости легко определяется из (25).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >