Течение жидкости по наклонной плоскости

Рассмотрим бесконечную плоскость, наклоненную к горизонту под углом а (рис. 10). По плоскости под действием силы тяжести течет слой жидкости толщиной И, над которой находится атмосферный газ с давлением рг Найти скорость течения жидкости.

Рис. 10

Введем декартову систему координат, как показано па рис. 10. С учетом соображений симметрии и несжимаемости жидкости, использованных в предыдущих параграфах, получаем vz = v = 0 и из уравнения Навье — Стокса (59) приходим к двум уравнениям:

Проинтегрировав второе уравнение (72) по z, получаем р =gz + С(лг), где С(х) — некоторая функция, зависящая только от х. Воспользуемся граничным условием + ст„ = —ра при z = Л, а также тем, что a:z = r|<3v_ / 8z = 0. Отсюда следует, что при z = h выполняется равенство р = ра, значит, С = ра + рgh, и p = pg(h — z) + ра. Используя этот результат в первом уравнении (72), после интегрирования получаем

Из граничного условия vv = 0 при z = О находим В = 0. Параметр А определяется из условия axz = r|Svt / 8z = 0 при z = h. Окончательно

Течение Пуазейля в цилиндрической трубе

В предыдущих параграфах мы рассмотрели несколько примеров решения уравнений Навье — Стокса в системах с плоской симметрией, когда эти уравнения удобнее всего решать в декартовой системе координат. Во многих случаях уравнения гидродинамики проще решать, используя другие системы координат. В этом и следующем параграфе даны примеры течения вязкой жидкости в системах с цилиндрической симметрией.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе, длина L которой много больше ее радиуса R (рис. 11). Считаем, что жидкость движется благодаря перепаду давления - р2 между концами трубы.

Рис. 11

Удобнее всего решать эту задачу в цилиндрической системе координат с осью Oz, направленной вдоль оси цилиндра, осью г, перпендикулярной этой оси, и полярным углом ф. Уравнения Навье — Стокса и несжимаемости в цилиндрической системе координат даны в Приложении. Из соображений симметрии следует, что компоненты скорости жидкости v не могут зависеть от полярного угла ф, следовательно, все производные по этому углу должны быть равны нулю. Поскольку L » R, в первом приближении трубу можно считать бесконечно длинной. Тогда все значения координаты z физически равноправны. Это значит, что компоненты скорости не могут зависеть от z и все производные по z от этих компонент обращаются в ноль. Поскольку компоненты скорости не зависят от координаты z, радиальная компонента скорости v обязана быть равной нулю. В самом деле, представим себе, что эта компонента больше нуля, что соответствует течению жидкости от оси цилиндра к его стенкам. Очевидно, это будет означать уменьшение плотности жидкости вблизи оси и се увеличение вблизи стенок трубы, что невозможно в силу несжимаемости жидкости. Аналогично невозможен случай отрицательных компонент скорости v . Очевидно также, что полярная компонента скорости v , описывающая циркуляционное движение жидкости вокруг оси цилиндра, должна быть равна нулю, так как течение жидкости по часовой стрелке вокруг этой оси физически равноправно течению в противоположном направлении. Таким образом, мы приходим к выводу, что единственной ненулевой компонентой скорости может быть только осевая компонента v_, причем зависеть она может только от координаты г. Учитывая это, записываем уравнение Навье - Стокса в виде

Здесь для краткости принято обозначение v = v_. Продифференцировав обе части (73) по координате z и учитывая, что v от z не зависит, получаем d2р / dz2 = 0, т. е. градиент давления dp / dz не зависит от z. Легко видеть, что в этом случае dp / dz = -(рх - р2)/ L .

где С, и С, — постоянные интегрирования. Поскольку при г = О скорость v не может обращаться в бесконечность, коэффициент Сх должен быть равен нулю. Постоянную С, определяем из условия прилипания v = 0 при г = R. Окончательно получаем

Расход жидкости, т. е. ее объем, прошедший через сечение трубы за единицу времени, равен

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >