Плоские акустические волны

Рассмотрим скалярное уравнение (117). Важным частным случаем решений таких уравнений являются плоские волны, подчиняющиеся закону

Здесь Р — амплитуда волны; г и t — радиус-вектор точки в пространстве, в которой определяется давление, и время его определения; к — волновой вектор; со — циклическая частота волновых колебаний, которую мы далее будем называть просто частотой. Из общей теории волновых уравнений известно, что направление вектора к совпадает с направлением распространения волны, а его абсолютная величина к = 2к/Х, где X — пространственный период волны, или длина волны. Циклическая частота со связана с временным периодом Тволны аналогичным образом: со = 2п!Т.

Выберем декартову систему координат с осью Ох, направленной вдоль вектора к, т. е. вдоль направления распространения волны. Тогда в экспоненте (119) к • г = кх. Поскольку давление сейчас не зависит от координат у и z, плоскость, образованная этими осями, является плоскостью одинаковых значений давления р. Таким образом, давление в пространстве изменяется от плоскости к плоскости. Именно поэтому волны, описываемые законом (119), называются плоскими.

Подставляя (119) в (117), после простых преобразований получаем ш = с&. Таким образом, частота волны обратно пропорциональна ее длине.

Из уравнений (116) следует, что если давление подчиняется закону (119), то скорость среды должна описываться аналогичным законом

с амплитудой V.

Подставляя (119) и (120) в любое из уравнений (116), приходим к следующему соотношению:

Таким образом, направление распространения звуковой волны совпадает с направлением колебательных движений частиц в волне. Подобные волны называются продольными. Другой класс волн — поперечные, в которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном распространению волны. Примерами поперечных волн являются колебания струны, мембраны, волны на поверхности воды, а также электромагнитные волны.

Известно, что, используя преобразования Фурье, любое решение волновых уравнений можно представить в виде линейной суперпозиции плоских волн. Поэтому основные свойства акустических волн, которые мы нашли в результате анализа плоских волн (связь между волновым вектором и частотой, продольность этих волн), присущи любым, не только плоским, акустическим волнам.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >