Распространение звуковых волн через границу двух сред

Пусть звуковая волна распространяется через плоскую границу двух сред. Частично эта волна отразится от поверхности раздела, частично пройдет через нее и будет распространяться во второй среде. Найдем связь между характеристиками падающей, отраженной и прошедшей волны.

Введем декартову систему координат гак, как показано на рис. 19. Ось Oz перпендикулярна межфазной поверхности, ось Ох направлена вдоль границы в плоскости, образованной вектором к и осью Oz. В этой системе координат давление в падающей волне может быть записано в виде

В аналогичном виде могут быть записаны давления в отраженной и прошедшей волнах.

Индекс 0 в (122) обозначает величины, относящиеся к падающей волне, индексами 1 и 2 мы будем отмечать все, что относится к отраженной и прошедшей волнам, индексами I и II — то, что относится к первой и второй среде соответственно. Падающая, отраженная и прошедшая волны проиллюстрированы на рис. 19.

Рис. 19

В силу общих условий гидродинамики (см. § 13) на межфаз- ной поверхности должны выполняться следующие граничные условия:

Напомним, что мы используем приближение идеальной жидкости, к которой условия на непрерывность тангенциальной компоненты скорости не имеют отношения. Вязкие же напряжения в идеальной жидкости по определению равны нулю. Соотношения (123) должны выполняться во все моменты времени. Это означает, что частоты со во всех трех волнах должны совпадать. 92

Аналогично, гак как граничные условия (123) должны выполняться на всей межфазной поверхности, компоненты кх, ? в этих волнах также должны быть одинаковы. Поэтому у величин ю, кхг индексов, отмечающих их принадлежность к различным волнам, мы писать нс будем. Поскольку падающая волна распространяется в плоскости xOz, для нсс компонента к% равна нулю. Следовательно, эта компонента равна нулю и для отраженной и прошедшей волн. Это означает, что последние две волны распространяются в той же плоскости xOz, что и падающая волна. К этому же выводу можно было бы прийти сразу из соображений симметрии задачи.

Поскольку падающая и отраженная волны распространяются в плоскости I, для обеих волн справедливо соотношение

С другой стороны, по теореме Пифагора к,,, = к] + кМг. Учитывая, что вертикальные направления распространения этих волн взаимно противоположны (см. рис. 19), получаем k0z =

Из рис. 19 очевидно следующее соотношение:

Поскольку в падающей и отраженной волнах как кх, так и к{ одинаковы, приходим к выводу, что угол падения волны равен углу ее отражения.

Установим теперь связь между углом падения и прохождения (преломления) звуковой волны. Из геометрических соображений легко получаем кх = /г,sin0О = khsin0,. Поскольку к{ п = со /с, п, приходим к следующему соотношению:

Интересная ситуация возникает, когда с„ > с,. В таком случае говорят, что вторая среда акустически более плотная, чем первая.

В этой ситуации существует критический угол падения, такой, что sinO(. =С|/см. Если 0о>0с, из уравнения для sin02 получаем sin 0, > 1, чего не может быть. Это означает, что при 0О > 0( звук во вторую среду не попадает. Угол 0 называется углом полного отражения.

Найдем теперь соотношения между амплитудами падающей Р, отраженной Pf и преломленной Р, волн. Запишем эти волны в виде

Коэффициенты А и В называются коэффициентами отражения и прозрачности. Для того, чтобы их найти, подставим (124) в граничные условия (123), учтем, что klz = -к0:, а также соотношения (121) для каждой из трех волн. После несложных преобразований приходим к системе линейных уравнений относительно А и В, решения которой имеют вид

Соотношения (124) называются формулами Френеля.

При sin"0o > п эти формулы не имеют физического смысла. Мы уже видели, что в этом случае прошедшая волна отсутствует.

Пусть т cos90 - - sin2 90 = 0. В этом случае отсутствует отра

женная волна. Угол 90, удовлетворяющий последнему уравнению, называется углом полной прозрачности.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >