Геометрический смысл и применимость полигауссовых случайных явлений к анализу

Геометрический смысл и применимость полигауссовых явлений к анализу рассмотрим на примере смеси конечного числа гауссовских компонент. В данном случае полигауссово случайное явление означает то, что все выборочное пространство А включающее в себя R реализаций и соответствующее исходной плотности распределения hN подпространств А,,..., Ап. каждое из которых состоит из R„ реализаций, характеризуемых гауссовской плотностью W„(x).

Вероятность компонент q = RJR есть вероятность того, что наблюдаемая реализация принадлежит подпространству Ап. Другими словами, действующая реализация принадлежит или первому подпространству Л, с вероятностью q2, или «-му подпространству Ап с вероятностью q„. Поэтому процесс ^вх(/) является логической суммой.

где ф - знак логического суммирования.

В отличие от традиционного в радиотехнике понятия смеси в виде суммы (аддитивная смесь сигнала и помехи) в данном случае под смесью явлений будем понимать их логическую сумму (2.27). Поэтому разложение исходной плотности во взвешенную сумму гауссовских плотностей не означает соответствующего разложения п ряд реализаций случайного явления. Это свойство полигауссовой модели превращает её в удобный инструмент решения многих прикладных и теоретических задач статистической радиотехника, в частности, анализа преобразования законов распределения случайных явлений (величин, процессов, полей и т.д.) при их прохождении через элемента радиотехнических систем и устройств.

Например, если входное явление системы, описываемой оператором //, представляет собой смесь явлений, т.е. логическую сумму (2.27), то и выходное явление будет смесью:

или

Поэтому преобразование функции распределения F(x) и соответствующей ей плотности w(x) входного явления ^вх(/) в системе сводится к преобразованию гауссовских законов распределений каждого подпространства ЛA v в отдельности, т.с. покомпонентному анализу и взвешенному суммированию преобразованных в системе законов распределений соответствующих подпространств. Отметим, что сказанное справедливо для всех форм полигауссовых моделей. Следовательно, функций распределения и плотности выходных явление запишутся в дискретной форме

в непрерывной форме

или в смешанной дискретно-непрерывной форме

с прежними сомножителями {qdG, dGtl.

В случае линейности оператора Н каждая компонента

С„.ых(0 = //С„вьД0 выражение (2.28) в силу гауссовости ;„вых(<) и линейности оператора преобразования Н представляет собой гауссовское явление. Поэтому логическая сумма (2.29) и функции распределения и плотности (2.30) - (2.32) выходных явлений представляет собой смесь гауссовских явлений. Таким образом, поли- гауссовы модели, как и гауссовские, инвариантны относительно линейных преобразований. Если же оператор Н соответствующего преобразования отличен, от линейного, то каждая компонента

Спвпх (0 = Я^пвых (0 является уже негауссонекой, поэтому компоненты логической суммы (2.29) негауссовские, следовательно, функции распределения и плотности (2.30)- (2.32) представляют собой смесь нсгауссовских явлений.

Структурная схема полигауссова анализа

Рис. 2.6. Структурная схема полигауссова анализа

Схематически образование смеси и её преобразование в системе оператором Нпоясняется на рис. 2.6. Коммутатор стохастически с частотой, определяемой вероятностью qn, подключает к входу системы тот или иной генератор гауссовских случайных процессов (ГГСПЛ, п = 1, N).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >