Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Посмотреть оригинал

ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

З.1 Статистические критерии оптимального оценивания непрерывно изменяющихся параметров

Критерий минимального среднего риска используется при решении задач оптимального оценивания непрерывно меняющихся параметров сигналов, принимаемых на фоне аддитивных помех. Для двух значений элементов непрерывных ансамблей сообщений а е А

и а е А, где А и А - области значений элементов сообщений переданных и принятых (при заданных функциях потерь Ц(а, а) и совместной плотности распределения вероятностей и-(а, а )), средний риск определяется отношением,

которое перепишем в виде

где и (а) - априорная плотность распределения вероятностей на входе системы. Тогда величина условного риска имеет вид:

Для наглядности приведем пример графической формы функции потерь и условной плотности распределения (рис. 3.1).

Пример условной плотности распределения н(а , а) и функция цепи потерь Ц(а, а )

Рис. 3.1. Пример условной плотности распределения н(а , а) и функция цепи потерь Ц(а, а )

Оптимальная байесовская оценка параметра

Результаты (2.4) применимы и в случае приема непрерывных сообщений. Проводится дискретизация непрерывного параметра сигнала и осуществляется предельный переход. Отображаются все возможные состояния ансамбля непрерывных сообщений {A,w(a)} векторами в многомерном функциональном пространстве а, делится пространство^ на К непересекающихся элементарных областей At,...,AK объемом Да и рассматривается система передачи дискретно изменяющихся параметров а,,..., ак. Считаются априорные вероятности реализации дискретных параметров а1 равными р(«,) * Ма()Аа, подставляются в формулу среднего риска (2.2) и переходят далее в (2.7)

к пределу при Аа—Я) К—»со, так что —»« , а,—р(а,.)—>w(a)da, для

системы передачи непрерывных сообщений получают:

В последнем преобразовании была использована формула Байеса. Для получения правила оптимального решения минимизируется внутренний интеграл в выражении (3.4). Должен обеспечиваться минимальным | Ц(я,я)гг(я |SBxnp)BXnp , или, что то же, из

А

всех возможных оценок а, в приемнике должен осуществляться такой выбор, при котором обеспечивается наименьшая величина

интеграла J Ц(«, a)vr(i2)w(|Slxnp |я)г/а. В системах передачи непре-

А

рывных сообщений функций потерь

находит широкое применение. Совместное решение (3.1) и (3.5) приводит к справедливости принципа максимальной апостериорной вероятности. Из множества всех возможных сообщений А на основании наблюдения х выбирают то значение ар1= а0аот, которое максимизирует функцию w(a|x). Тогда минимизируется средняя вероятность ошибочных решений (максимизируется средняя вероятность правильных решений).

Функция потерь (3.5) используется там, где любые ошибки для получателя сообщения одинаково нежелательны. Когда передаваемые сообщения несут количественную информацию, степень нежелательности ошибки возрастает по мере увеличения абсолютной величины отклонения оценки от истинного значения. Из возрастающих относительно истинного значения а= а0 наиболее распространенной является квадратичная функция

Средний риск (соотношение 3.1) совпадает со средней дисперсией ошибок, имеющих место при оценке параметра а:

Оптимальный приемник при каждом акте наблюдения SBxnp принимает решение, направленное на минимизацию внутреннего интеграла в выражении (3.7). Оптимальная оценка имеет место при экстремуме этого интеграла и представляет собой математическое ожидание апостериорного (послеопытного) распределения

Если апостериорная плотность распределения оценки симметрична, то оценки, которые получены при простой и квадратичной функциях потерь, совпадают. Оптимальная оценка находится в результате максимизации апостериорной плотности распределения вероятностей параметра vv(a| SBXIip) и является корнем уравнения:

Получаемая в результате оценка называется байесовской. Так как при использовании байесовской оценки учитывается вся имеющаяся априорная информация, то она обеспечивает наибольшую точность.

Оценка максимального правдоподобия

Использовав теорему умножения вероятностей, выражение (3.9) преобразуем в форму:

где и'(5вхпр |а) - функция правдоподобия параметра а. Как правило,

априорное распределение параметра w(a) в месте приема неизвестно. С учетом этого выражение (3.10) без большой потери точности оценивания заменяют более простым выражением

Вместо оптимальной получаем так называемую оценку максимального правдоподобия, оптимальную для простой функции потерь в случае равномерного априорного распределения параметра.

На практике имеются условия, когда апостериорная плотность распределения параметра сосредоточена в значительно меньшем узком интервале значений о, чем интервал всех возможных значений. Характер изменения априорного распределения при узком интервале на положение точки максимума апостериорного распределения существенно не влияет. Это как раз тот случай, когда отношение сигнал/ шум достаточно велико и возможно функционирование системы передачи информации.

Положим, что X является неизвестным, неслучайным скалярным параметром сигнала, находящегося в аддитивной смеси с шумами в интервале [0,Т]. Так как оценка нс байесовская, определим ее свойства. Оценка максимального правдоподобия параметра X является корнем уравнения (3.11), или

Неслучайный параметр обозначим через оценку X = q{SBX пр), математическое ожидание которой может быть смещено относительно значения X:

где X - смещение оценки. Естественно, что при X = 0 оценка будет несмещенной.

Из выражения (3.13) следует:

Для упрощения положим, что оценка несмещенная. Продифференцируем выражение (3.14) по параметру X и получим:

Учтем правила дифференцирования сложных функций:

и представим выражение (3.15) в виде

Используем неравенство Коши - Буняковского - Шварца:

получим

В выражении (3.17) первый интеграл равен дисперсии оценки

параметра М, второй - математическому ожиданию квадрата производной логарифма функции правдоподобия по параметру X. В результате получаем

Это выражение называется неравенством Крамера - Рао. Его нижняя граница, при которой оценка является наиболее эффективной, называется границей Крамера - Рао. Ее положение звисит от

объема выборки 5вхпр = [SBX пр,,..., ?вхпря] и плотности распределения вероятностей w(S,Bxnp|A.).

Имеется доказательство, что если и существует наиболее эффективная оценка, то она будет совпадать с оценкой максимального

правдоподобия Хт.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы