Материалы к практическим занятиям

Тема 1. Высказывании. Логические связки

• 1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Объясните свой выбор. Какие из высказываний простые? Какие высказывания являются составными? Найдите их истинностное значение.
• а) 126 делится на 9; б) .v²+Zv+l =0; в) если в треугольнике все углы острые, то он прямоугольный; г) 325 делится на 3 или на 5; д) число 2 - простое или число 6 - составное; е) Луна - спутник Марса; ж) 5<3 и 4> 1; з) 5<3 или 4>1; и) sin.v = 1; к) существуют такие числа .v и у, что х<у
• л) если 2*2 = 5, то все прямые плоскости пересекаются в одной точке;
• м) если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.
• 2. Найдите логические значения высказываний:
  • а) (2=3) -+ (4=2+3), б) (3<4) (6>5),
  • в) (5 < 3) л (3 < 2) -? (3 < 5), г) (3>4)v(3+5>7) -> (3=3)л(5<3).
• 3. Известно, что перед дождем кот Васька всегда чихает. Васька чихнул. Будет ли дождь? Обоснуйте ответ.
• 4. Высказываниям А В_у С, D соответственно приписаны значения м, л, л, и. Найдите истинностные значения каждого из следующих высказываний:

а) (AvB)vC, г) A—>(CvD)_f

• б) С->(Лл/9), д) (A vC)<->(CaZ9),
• в) А -»1(В л С), с) D<->(A->(AvD)).
• 5. Высказывание Р <г^>0 истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания а) /><->1(9, б) (]р л О) <-> {Р v 0, в) Q->P, r)~]P->Q ?
• 6. Высказывание PQ ложно. Что можно сказать о логическом значении высказывания а) 1(9, б) 1P++Q ?
• 7. Высказывание Р^>0 истинно, а высказывание Р<^>0 ложно. Что можно сказать о логическом значении высказывания a) Q —> Р, б) 1р<->(9 ?

Тема 2. Формулы. Законы логики

• 1. Составьте таблицы истинности для следующих формул:
  • а) Л->(Л-> В),
  • б) А ->В л С),
  • в) (А ->1 В) ++ (В ->U)₉
  • г) (А —> В л С) v (]А л В).
• 2. Найдите истинностное значение формул:
  • а) ((A vlfi) л1С) о С, если A-и, В-и, С-и.
  • б) 1 ((А -> В) v (В ->1Л)), если В-л,
  • в) (А -> (U -> (В vlB))) —если А-и,
  • г) А л (В —>1а), если А а В - и,
  • д) 1(/1 V й) -> (С vlD), если (1с Л В) -» (A v"|D) - л.
• 3. Докажите равносильность следующих формул:

a) А —> В и 1л v В,

b) (А а В) —> (А а С) н ~а vB v С.

• в) Л->(Я->С) и (А->В)->С,
• г) (~а-> В) а (1В ->1С) и В vl(А -> Q.
• 4. Докажите равносильности:
  • а) А <-> В = (IAvB)a(IBvA), 6)Pv(1PaQ) = PvQ.
• 5. Докажите или опровергните тождественную истинность формул:
  • а) ((А —> В) а А) —> В, б) (Л->Я)->((СлЛ)->Я),
  • в) (A^>B)^>((CaA)^>(BaD)).
• 6. Рассуждения ученика: «Известно, что если натуральное число оканчивается нулем, то оно делится на 5. Данное число не оканчивается нулем, поэтому оно не делится на 5». Прав ли ученик?
• 7. Следующие формулы преобразуйте в равносильные, которые не содержат знака импликации, а отрицание относится только к переменным:
  • а) ~(А —» В), б) ~|(Л —> (В -> А)), в)1(1(Л v В)-> (С-> А)).

Тема 3. Предикаты и кванторы

• 1. Укажите предикаты, найдите их множества истинности:
  • а) л;² > 1, jc е R,
  • б) х² +sin х, xg R,
  • в) х² -x-2 = 0,xeN,
  • г) целое число х делится на 2,
  • д) любое целое число х делится на 2,
  • е) треугольник х - равнобедренный,
  • ж) 2-2 + 2-3 = 2-(2 + 3),
  • з) 2-x + 3 x = 6x,xeZ,
  • и) натуральное число х делит любое натуральное число у
  • к) существует натуральное число дг, которое делит любое натуральное число у.
• 2. Прочитайте высказывания:

a) 3/?eN(/f:2), б) 3w,meN(/r/w),

• в) V«gN(«:5), г) V/jgN 3/wgN(/*:/h).
• 3. Даны двуместные предикаты: Р(а,Ь): «Прямая а параллельна прямой b», Q(a,a) :«Прямая а лежит в плоскости а», 5(а,ог): «Прямая а параллельна плоскости а». Сформулируйте высказывания:

a) Va3aQ(a,a), б) Va3bS(b,a),

• в) ЗаЗЬР(а,Ь), г) 3b/aS(b,a).
• 4. Запишите символически следующие высказывания:
  • а) при некоторых натуральных значениях у имеет место равенство

Ъ-у = у-,

б) любое действительное число х является решением неравенства

х² +3 > О,

• в) есть натуральные числа, кратные 8,
• г) всякое число имеет делитель, равный 1,
• д) существуют такие натуральные числа с и d, что с d = 6.
• 5. Найдите множества истинности предикатов Р(х) /Q(x), Р(х) v Q(x), >(.v), l?M, где P(x) и Q(x)~ следующие предикаты:

a) -2<*<4 и |х|<3 (*eR), б) х² +2х-3 = 0 и л:² + Зл:-4 = 0 (jcgR), в) х>2 и д<2 (.veR), г) 2 делит х и 4 делит х (*eZ).

• 6. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предикатов:
  • а) х² = у*; 6).v²+/<9; в) (.vX)) л (v>0); г) (.vX)) v (j'<0).
• 7. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов P(x,y)AQ(x,y), P(jt,^)vg(.v,7),lP(^,^),l0U,^), где Р(х,у) и Q(x,y) - следующие предикаты:
  • а) * > 0 и > О, б) у-х>и у+х>,
  • в) I х + у |< 2 и | х - у |< 2, г) (*+1)² +у² <4 и (х-)² + у² ?4.
• 8. Выясните, равносильны ли следующие предикаты:
  • а) х² +2х-3>0 и (л: < 3) л( х> 1) (jtgR),
  • б) | д: |> 3 и л:² >15 (*eR),
  • в) | х|< 3 и д:² <15 (xeZ),
  • г) 2х = у и 4л:² = у² (.xeR),
  • д) 2х = у и 4л;² - у² (xgR⁺),
  • е) «л: делит у и у делит х» и х = у (xj/e Z).
• 9. Запишите, используя язык предикатов, следующие высказывания: уравнение f{x) = 0 в R :
  • а) не имеет корней, б) имеет корень, в) имеет ровно один корень, г) имеет более одного корня, д) имеет нс более одного корня, с) имеет два корня,
  • ж) имеет ровно 2 корня, з) имеет более двух корней.
• 10. Используя предикат ху - «х делит у», запишите на языке формул следующие высказывания:
  • а) некоторые целые числа делятся на 3,
  • б) любое целое число делится на 2 и на 3,
  • в) всякое четное число делится на 4,
  • г) любые два натуральных числа имеют общее кратное,
  • д) если целое число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6?
  • с) сумма любых двух четных целых чисел является четным числом, а их произведение кратно 4,
  • ж) существует натуральное простое число,
  • з) существуют нечетные простые числа.

Тема 4. Построение отрицания к высказываниям с кванторами

• 1. Пусть каждое из следующих утверждений неверно. Сформулируйте верные утверждения.
• 1) Вес шары в урне красные.
• 2) Некоторые шары в урне красные.
• 3) Вес равнобедренные треугольники прямоугольные.
• 4) Все студенты нашей группы были на дискотеке.
• 5) Некоторые студенты группы были на дискотеке.
• 2. Докажите или опровергните следующие высказывания:
  • а) разность любых двух натуральных чисел есть число натуральное,
• 6) существуют правильные многоугольники,
• в) сумма любых трех последовательных натуральных чисел кратна 3,
• г) всякое двузначное число, записанное одинаковыми цифрами, кратно 11,
• д) любое натуральное число является корнем уравнения х² +1 = 7,
• е) в некоторых параллелограммах диагонали не равны,
• ж) среди чисел 3, 17, 39, 115, 212 есть хотя бы одно, кратное 7.
• 3. Прочитайте высказывания и определите их значения истинности {a,byX е R):

a) V.v За (Здг+1=адг); б) Зг Va (Здг+1=адг);

• в) 36 /а Зх (д?+ах+Ь=0); г) За V6 Зх (дг² +ах+Ь= 0).
• 4. Запишите символически высказывания, их отрицания, определите их истинностное значение.
• а) Во множестве натуральных чисел есть наименьший (наибольший) элемент.
• б) Любые два рациональных числа либо равны, либо одно из них больше другого.
• 5. Напишите символически определения четной, нечетной, периодической функции и их отрицания.
• 6. Является ли функция /(дг) = (дН-1)² четной, нечетной, периодической?
• 7. Запишите определение возрастающей (на Df) функции, его отрицание. Проверьте, что функция/(дг) = (дг+1 )² не возрастает на R.
• 8. Запишите определение ограниченной (сверху, снизу) последовательности. Постройте отрицание. Исследуйте на ограниченность последовательности: «,=(-!)". Ь„=п.
• 9. С помощью кванторов составьте из данного предиката высказывания всеми возможными способами. Установите истинностные значения полученных высказываний и их отрицаний.
• а) * делится на у, (дг, у - целые числа), б) х - отец у (дг, у - люди),
• в) х+2у= (х, у - действительные числа).
• 10. Докажите или опровергните следующие высказывания:
  • а) некоторые параллелограммы имеют ось симметрии,
  • б) все параллелограммы имеют ось симметрии,
  • в) существуют параллелограммы, нс имеющие осей симметрии,
  • г) диагонали любого ромба не равны между собой,
  • д) всякий прямоугольник является квадратом,
  • е) некоторые числа кратны 2 и 7,
  • ж) все числа положительны или отрицательны,
  • з) число /;² +1 делится на п + при любом пе N,
  • и) функция /(л) = х + возрастает,
  • к) функция /(дг) = дг +1 убывает.

Тема 5. Отношение следования. Необходимые и достаточные

условия

1. Справедливы ли указанные следствия:

• 2. В каждом из следующих предложений вместо многоточия поставьте один из терминов «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание:
  • а) Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом , чтобы каждое слагаемое было четным.
  • б) Чтобы число делилось на 3 ..., чтобы оно делилось на 6.
  • в) Для того чтобы число делилось на 10... , чтобы оно делилось на 2 и на 5.
  • г) Для того чтобы (х - 3)(.v + 2)(х - 5) = 0 ... , чтобы х = 3.
  • д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... , чтобы его диагонали были равны.
  • е) Для того чтобы было верно - < 1 ..., чтобы х > 1.

х

ж) Для того чтобы было верно — < 1 ... , чтобы л: > 1 или * < 0.

х

• з) Чтобы треугольники были равны ..., чтобы они были подобны.
• и) Чтобы четырехугольник был ромбом ... , чтобы его диагонали были равны.

Тема 6. Логическое строение теоремы

• 1. В каждом из приведенных утверждений выделите условие и заключение. Какие из утверждений верны? Сформулируйте истинные предложения разными способами: на языке «если, то» и на языке необходимых и достаточных условий.
• 1) Если произведение двух целых чисел делится на 6, то хотя бы один из сомножителей делится на 6.
• 2) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось нулем.
• 3) Сумма двух нечетных чисел есть нечетное число.
• 4) Нс существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2.
• 5) Для того чтобы а³ =а² необходимо, чтобы а= 1.
• 6) Квадрат любого четного числа делится на 4.
• 7) Для того чтобы натуральное число делилось на 9, достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
• 8) Произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
• 9) Произведение двух чисел равно 0, если хотя бы один из сомножителей равен 0.
• 10) Для того чтобы произведение двух чисел было положительно, необходимо, чтобы они были положительны.
• 11) Вертикальные углы равны.
• 12) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• 13) Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
• 14) Любая сходящаяся последовательность ограничена.
• 15) Любая ограниченная последовательность сходится.
• 16) В равностороннем треугольнике все углы равны.
• 17) Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
• 2. Выделите составные части теорем и запишите теоремы символически. Для

каждой из них постройте обратную, противоположную и обратнопротивоположную теоремы. Выясните, какие из них верны.

• а) теорема Пифагора;
• б) теорема о средней линии треугольника;
• в) теорема о свойстве диагоналей ромба;
• г) теорема о произведении двух чисел, равном 0;
• д) необходимое условие сходимости числовой последовательности;
• е) теорема о произведении бесконечно малых последовательностей.

Тема 7. Способы задании множества

1. Является ли число 2 элементом множеств:

А = {1,3,5,6}, В = {-3,0,1,2,4}, С = {л:| х² = -4х } ?

• 2. Верно ли, что {1,2}е ^[1], г) 0 и {0},
• д) {лгеЫ|л::10ил::15} и {.vеN|л:: 150},
• е) {лге N | лг:3 и лг:5} и {лге N | jc: 15},
• ж) {.v € R | х⁴ -5л^-3 + 5л;² + 5л:-6 = 0} и {1,2,3,4},
• з) множество А всех прямоугольников и множество В всех четырехугольников с равными диагоналями,
• и) А = {2к+ keZ} ч В = {2к+ k<=Z}.
• 3. Для заданного множества А найдите множество всех его подмножеств В(Я): а) у4={ 1,2, 3}, б) А={0}, в) А= 0.
• 4. Докажите: 5сР тогда и только тогда, когда В (5)
• 5. Докажите:
  • а) если А с В, В AczC,
  • б) если А^В, ВА* В, то А* С,
  • в) если AczB, 5сС, В* С, то А* С,
  • г) если ЛсЯ,5сС,Сс/1,то/1 =В=С,
  • д) если Лс0, то Л= 0.
• 6. Выясните, равны ли множества:

. , Г 5/: — 3 1 _ 5к+ 2

а) А = < —-— | к - целое > и В = < —-— | к - целое >,

• б) А = {3? +11 к - целое} и В-I ^ ^- Целоеj,
• в) {atsN | л:20} и | л:²:20}.

Тема 9. Операции над множествами

• 1. Для подмножеств А, В множества U найдите AkjB, АглВ, АВ, ВЛ, АФВ, А, В:
  • а) А={д, о, л/}, В={м, о, /?, е), U- множество букв русского алфавита,
  • б) Л = {1,3,4,6}, В = {3,4,6,8,9}, U = {xeN |л^10},
  • в) Л = [-2,3],Д = (1,5), U=R.
  • г) А = (-оо,2), В = [1,4], ?/=R,
  • д) А=[ 1 ,+ос), Z?=(-2,3], U=R, е) A=[ 1 ,+oo), 5=(-2,0)u) 1}, U= R,
  • ж) A = [-3,3], В = {-3,3}, U= R,
  • з) /I - множество всех прямоугольников, В - множество всех ромбов, U - множество всех четырехугольников.
• 2. Найдите объединение множеств точек всех треугольников плоскости, вписанных в данную окружность.
• 3. Найдите пересечение множеств точек всех треугольников плоскости, вписанных в данную окружность.
• 4. Постройте два таких неравных треугольника, для которых является правильным треугольником их а) пересечение, б) объединение,
• в) симметрическая разность.
• 5. Докажите утверждения:
  • а) А с= А и В, б) AnBczA, в) если Л с; Я, то (A nC)Q(BnC).
• 6. Докажите равносильность следующих трех условий: А а, В, АиВ = В, АпВ = А.
• 7. Известно, что A^JВ = АиС. Можно ли отсюда сделать вывод, что В=С ? А если известно, что АпВ = АпС?
• 8. Докажите утверждения:
  • а) ЛВ = ЛоВА = В, б) (ВиА)В = Лс$ЛпВ=0,
  • в) AB = AKjBoB=0_y г) Аг^В = АВоА=0,
  • д) /1с5иС<=>^5сС, е) А^В => АС сДС,
  • ж) С = А В => Вг^С=0, з) АаВ^>АВ=0.
• 9. Найдите пересечение всех интервалов вида п eN.

V " п)

Тема 10. Прямое произведение множеств

• 1. Перечислите элементы множеств Ах В, ВхА, ВхВ,сспи а) А = {1,2,3}, В = {с,d}, б) А = {о,*?}, В = {/?,«}.
• 2. Постройте на плоскости множества Ах В и ВхА, если
• а) А = {1,2,3}, В = {3,4}, д) Л=[1,+оо), Я=(-2,2М1},
• б) А = [-2,3], В = (1,5), е) А = [-3,3], В = [-3,3],
• в) А = (^о,2), В = [1,4], ж) А = (-5,2], В = R,
• г) Л=[1,+оо), fi=(-2,3], з) Л = (-оо,1),й = [1,+оо).
• 3. Выясните, верны ли следующие равенства, a) (4ufi)xC = (4xCMBxC);
• б) (Лх?)и(йхЛ) = (ЛиВ)х(Ли?);
• в) (ЛВ)хС = (ЛхС)(ВхС).

Тема 11. Диаграммы Эйлера-Венна

• 1. На диаграммах Эйлера-Венна изобразите множества:
  • а)А(ВС), б) (АС)и(ВС), в) АпВпС.
• 2. Какое из следующих соотношений выполняется для множеств А и В: А=В, Ad В, В<= А, А и В не пусты и не псрссскаются, А и В псрссскаются, но не связаны отношением включения. Изобразите множества А и В на диаграмме Эйлера-Венна.
• а) А = [ -1,5), В - множество всех четных целых чисел.
• б) А - множество всех нечетных целых чисел, В={-3, -1,7, 15, 21}.
• в) А - множество всех простых чисел, В = [-оо, 2).
• г) А - множество всех квадратов на плоскости, В - множество всевозможных параллелограммов.
• д) А = {хх² +2х = 3], Z? = {* | (* + 3)(*² + 1)(лг² + 2х +1) = 0}.
• е) Л=[-2,3], В=[2, «>).
• ж) А = {х - число | х¹ = 20 + х }, В= {-5, 0,4}.
• з) А = {х-число|9jc — 14 = л:² }, В - множество всех простых чисел.

При решении следующих задач введите необходимые множества и изобразите их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

• 3. В группе из 25 студентов 12 человек играет в волейбол, 9 человек - в баскетбол, а двое - и в волейбол, и в баскетбол. Сколько студентов группы нс играет ни в одну из этих игр?
• 4. В лагере отдыхают 100 детей. Известно, что 6 из них занимаются в драмкружке, 20 - спортсмены и 25 поют в хоре. При этом 3 спортсмена занимаются в драмкружке, 6 человек занимаются спортом и поют в хоре, 2 артиста из драмкружка поют в хоре, а 1 человек успевает заниматься всем - и театром, и спортом, и пением. Сколько человек не занимается ничем из перечисленного?
• 5. Каждый из 37 членов строительной бригады владеет хотя бы одной из трех специальностей: плотника, каменщика, монтажника. Известно, что в бригаде 15 плотников, 13 каменщиков и 16 монтажников, причем 2 члена бригады владеют специальностями плотника и каменщика, 3 - плотника и монтажника и 4 - каменщика и монтажника. Сколько рабочих владеет всеми тремя специальностями? Только одной специальностью? Сколько монтажников не является плотниками?
• 6. Каждый из 25 студентов группы изучает хотя бы один из двух языков - английский и немецкий. Известно, что 17 человек изучает английский язык, а 12 человек - немецкий. Сколько студентов изучают оба этих языка?
• 7. В группе 36 студентов. Известно, что среди них спортсменов - 21, занимающихся в кружках - 20, учащихся без троек - 22, причем каждый студент группы входит в какую-нибудь из перечисленных категорий. Спортсменов и занимающихся в кружках - И, спортсменов и учащихся без троек - 12, занимающихся в кружках и учащихся без троек - 13. Сколько студентов, одновременно занимающихся в кружках и спортом, учится без троек?
• 8. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делится ни на 4, ни на 6, ни на 10?

Тема 12. Доказательство теоретико-множественных тождеств

1. Упростите выражения, используя основные тсорстико-множсствснныс тождества:

a) A^j(AuВ), б) Аг(АиВ), в) Аи(АпВ),

• г) (АиВ)п(АиВ), д) АиВ, е)Аи(АпВ),
• ж) АпВиВ, з) (AnBnC)v(AnBnQvBuC.
• 2. Докажите теоретико-множественные тождества тремя способами (с помощью кругов Эйлера, поэлементно и тождественными преобразованиями):
  • а) АВ = АпВ, ж) А(ВиС) = (АВ)п(АС),
  • б) Ви(АВ) = АиВ, з) А(В(лС) = (АВ)^>(АС),
  • в) Въ(ЛВ)=0, и) Аи(ВС) = (АиВ)п(АиС),
  • г) АпВ = А(АпВ), к) Ап(ВС) = (АпВ)(АпС),
  • д) А(А В) = АпВ, л)(АФВ)пС = (АпС)Ф(ВпО.
  • с) (АВ)С = (АС)(ВС),

Тема 13. Метод математической индукции

1. Докажите для прогрессий формулы общего члена: а_п =а_х + d(n-),

К =V/'^M.

слагаемых.

• 3. Докажите, что сумма кубов любых грех последовательных натуральных чисел делится на 9.
• 4. Докажите, что для любого weN верно:
  • а) 1 + 3 + ...+(2и-1) = и б) 1 + 2²+...+>?^г = "⁽—¹⁾⁽²"⁺1),
• 6

V 1 1 I п . . _ п(п +1)

• в)— +-+ ...+-=-, г) 1 + 2 + .. .+ w = —--,
• 1-2 2-3 Л-(#1 + 1) // +1 2

. . ~ ~ , _1Ч п(п + 1)(и + 2)

д) 1-2 + 2-3 + ...+ //-(/7 + 1) = —-—-

'>НН}В)=^³

.11 1 п

• ж) — +-+ ...Н--=-.
• 1-4 4-7 (3/7 — 2) - (3/7 -4-1) 3/1 + 1
• 5. Пусть я, = 1, я₂ = 2, я„₊₁ = я„ -я„_, при п> 2. Докажите, что а_п+6=а_п для любого п е N.
• 6. Докажите, что для любого пе N верно: а) 3" > п • 2", б) 2^я > п.
• 7. Выясните, для каких weN верно: а) 2" > п², б) 2" > 2п +1.
• 8. Докажите, что любые п прямые, проведенные через точку, делят плоскость на непересекающихся 2п частей.
• 9. Докажите, что для любого натурального п>Ъ можно построить л-угольник, имеющий три острых угла.
• 10. Докажите, что //-элементное множество имеет 2^я подмножеств.
• 11. Докажите, что число, записанное с помощью З⁵ единиц, делится на З⁵.
• 12. Докажите, что любое we N представимо в виде суммы целых неотрицательных степеней двойки.
• 13. Плоскость поделена несколькими прямыми на области. Докажите, что их можно раскрасить в 2 цвета так, что любые две соседние области будут окрашены в разный цвет.
• 14. Из первых 2т натуральных чисел выбрали произвольно // + 1 число. Докажите, что среди них найдутся два, одно из которых делит другое.
• 15. Докажите, что4^я +15// -1 делится на 9 при любом //eN.

Тема 14. Метод перебора вариантов

• 1. Сколько существует двоичных кодов длиной 4? Перечислите все такие коды.
• 2. В детский сад привезли кубики красного и синего цветов. Каждому ребенку дали по 4 кубика. Сколько различных башенок можно составить?
• 3. В азбуке Морзе любой символ можно закодировать последовательностью точек и тире. Общее количество знаков в коде - от одного до пяти. Сколько различных символов можно закодировать с помощью азбуки Морзе?
• 4. Напишите в алфавитном порядке все слова (без повторяющихся букв), составленные из букв А, Б, В.
• 5. Напишите в алфавитном порядке все слова, составленные из букв слова МАМА.
• 6. В забеге участвовали Иванов, Петров, Сидоров. Были даны следующие прогнозы. 1) Победит Иванов. 2) Сидоров обгонит Петрова. 3) Петров финиширует следом за Ивановым. 4) Сидоров не победит. Известно, что четное число прогнозов оказались верными. Как финишировали бегуны?
• 7. Сороконожки и трехголовые драконы вместе имеют 26 голов и 298 ног. Сколько ног у трехголового дракона?
• 8. Имеется 20 одинаковых квадратов. Сколько различных прямоугольников можно составить, используя все квадраты или частично? А если квадратов 100?
• 9. Имеются монеты достоинством 3 и 5 коп. Перечислите все способы, которыми можно набрать 78 коп.
• 10. Имеется 4 книги. Сколькими способами можно составить из них подарок?
• 11. В азбуке Брайля (для слепых) каждый символ кодируется с помощью 6 точек. На некоторых из них имеются выпуклости, легко определяемые осязанием. Сколько символов можно закодировать с помощью азбуки Брайля?
• 12. На Новый год были куплены конфеты для подарков. После того как одну конфету кто-то съел, при раскладывании их по 2, 3, 5 штук одной конфеты не хватало. По 7 их удалось разложить. Сколько всего было куплено конфет? (Известно, что их < 300.)
• 13. Разговор между двумя друзьями, нс видевшимися много лет:
  • - У меня трое сыновей. Произведение их лет равно 36, а сумма - номеру проходящего мимо автобуса.
  • - Это мне ни о чем нс говорит.
  • - А старший сын у меня рыжий.
  • - Сейчас мне все ясно.

Сколько лет детям? Какой автобус проходил мимо?

Тема 15. Ьесформульная комбинаторика. Правило произведения

• 1. Сколько всего существует а) двузначных, б) трехзначных чисел?
• 2. Сколько существует двузначных чисел с разными цифрами? А трехзначных?
• 3. На плоскости имеется 10 точек.
• а) Сколько существует отрезков с концами в этих точках?
• б) Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?
• 4. Сколько диагоналей в выпуклом 11-угольнике?
• 5. Двадцать пять студентов группы поздравили друг друга с Новым годом открытками. Сколько было подарено открыток?
• 6. Двадцать пять студентов группы обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
• 7. В турнире участвовало 20 команд. Сколько было проведено матчей, если каждые две команды сыграли друг с другом?
• 8. Можно ли устроить тренировочный турнир так, чтобы в нем участвовали 11 команд и каждая команда сыграла ровно три матча? А если команд 8?
• 9. Пусть а, b,c,d - какие-то четыре разные цифры (не нули). Сколько из них можно составить различных четырехзначных чисел, у которых вес цифры различны?
• 10. Сколько существует двузначных чисел, цифры которых идут в убывающем (возрастающем) порядке?
• 11. Сколько существует трехзначных чисел с описанным свойством?
• 12. Имеется краска белого, красного и синего цветов. Сколькими способами можно раскрасить трехцветный флаг?
• 13. Докажите, что в любой компании, состоящей из 11 человек, найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
• 14. Докажите, что в любой компании из шести человек найдутся трое или попарно знакомых или попарно незнакомых.
• 15. В ящике 40 шариков: 17 зеленых, 12 синих, 5 красных и 6 белых. Какое наименьшее число шариков надо вынуть, чтобы среди них наверняка оказалось: а) 12 шариков одного цвета, б) 4 шарика разного цвета?
• 16. К вершине горы ведет 7 троп. Сколькими способами можно подняться на вершину горы и вернуться обратно? А если возвращаться нужно другой дорогой?
• 17. Кодовый замок чемодана представляет собой три колесика с пронумерованными от 0 до 9 делениями. Сколько различных шифров существует?
• 18. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются, б) цифры могут повторяться?
• 19. В корзине сидят котята - 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы все они были разной окраски?
• 20. Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых равна трем, а цифра 1 встречается не более одного раза?
• 21. В лыжных соревнованиях, в которых участвовало 100 спортсменов, все спортсмены получили номера от 1 до 100. Сколько спортсменов получили номера без цифры 2 и цифры 5?
• 22. Сколько различных делителей имеет число З⁵ -5⁴?
• 23. Преподаватель может поставить студенту одну из четырех возможных отметок: 2, 3, 4, 5. Три человека сдают экзамен. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки?
• 24. У Васи на куртке 3 кармана. Сколькими способами он может положить в них две одинаковые монеты?
• 25. Сколькими способами 3 юношей могут пригласить на танец 3 девушек из 6?
• 26. Сколько существует четырехзначных чисел: а) делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр; б) в записи которых хотя бы раз встречается цифра 5?
• 27. Даны две параллельные прямые. На одной прямой отмечено 3 точки, на другой - 4 точки. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Обобщение задачи: на одной прямой - п точек, на другой - к точек. Вопрос тот же.

Тема 16. Основные формулы комбинаторики

• 1. Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв А,Б,В,Г,Д,Е? А если буквы нс должны повторяться?
• 2. Сколько 3-значных кодов существует у кодового замка с одновременным нажатием кнопок?
• 3. Сколькими способами в группе из 25 человек можно выбрать трех делегатов для участия в конференции?
• 4. Сколькими способами в группе из 25 человек можно выбрать старосту, зам. старосты и профорга?
• 5. Имеется 10 стульев. Сколькими способами могут разместиться на них 5 человек?
• 6. В классе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на день, если с утра должно быть 6 разных уроков?
• 7. На окружности отмечено 8 точек. Сколько можно построить: а) хорд, б) треугольников с вершинами в этих точках?
• 8. Сколько существует трехзначных чисел? Сколько среди них таких, у которых: а) все цифры различны, б) первая и третья цифры равны, в) все цифры нечетные, г) все цифры четные?
• 9. Сколькими способами можно назначить в патруль трех солдат и одного офицера, если имеется 15 солдат и 4 офицера?
• 10. В лыжной секции занимаются 10 мальчиков и 8 девочек. Сколькими способами можно сформировать команду из четырех лыжников и трех лыжниц?
• 11. В группе 25 студентов. Сколько существует различных вариантов присутствия студентов на занятии?
• 12. Каждого из 7 студентов можно отправить на практику в одну из двух школ. Сколькими способами это можно сделать?
• 13. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы:
  • а) 4 гвоздики одного цвета;
  • б) 4 гвоздики, среди которых половина красных;
  • в) 5 гвоздик, среди которых больше красных?
• 14. На двух параллельных прямых расположено 6 и 9 точек соответственно. Сколько четырехугольников с вершинами в этих точках можно построить?
• 15. Сколькими способами можно переставить буквы слова ОГОРОД так, чтобы никакие гласные и согласные буквы не стояли рядом?
• 16. Сколькими способами 5 девочек и 5 мальчиков могут разместиться на поставленных в ряд 10 стульях, чтобы при этом никакие два мальчика и никакие две девочки не сидели рядом?
• 17. Имеется набор из 12 фломастеров. Сколькими способами можно выбрать 4 фломастера?
• 18. На плоскости даны п точек, никакие три из которых нс лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести на плоскости, соединяя эти точки попарно?
• 19. На окружности отмечено 6 точек. Сколько существует многоугольников с вершинами в данных точках?
• 20. На олимпиаду по математике в одном классе претендуют 8 человек, в другом - 10 человек. Необходимо из каждого класса выбрать по
• 3 человека для участия в олимпиаде. Сколькими способами можно составить команду?
• 21. В команде студенческого общежития живут трое студентов. У них есть
• 4 чашки, 5 блюдец, 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?
• 22. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

• [1] 1,2,3},{1,3}, 1,2}?
• 3. Приведите пример таких множеств А, В и С, что АеВ, ВеС, но АеС. Может ли быть так, что АеС?
• 4. Задайте с помощью характеристического свойства: а) множество всех положительных чисел, б) множество всех отрицательных чисел, в) множество всех неотрицательных чисел, г) множество всех неположительных чисел, д) множество А = {1,2,3}, с) 0, ж) множество всех простых чисел.
• 5. Опишите словесно множества:

a) {.v²| *eZ}, б) {2v|.vgN}, в) {(.v,>')l .veR,.yeR, х² + у² =4}.

6. Запишите множество, перечислив его элементы: а) А = {xeN |д<5},

б )В= {jreN||x|<5},

• в) С, = {xeZ | (д²-1 )(2х-1 )(лг²-2) = 0},
• г) С₂= {xeQ I (х²-1 )(2х-1 )(x^J-2) = 0},
• Л) Cj= {xeR | (х²-1 )(2х-1 )(х²-2) = 0!,
• е) D = {хеR | (х- 1)/-х²+х + 2 < 0},

Ж )Е= {(х,у) I xeZ,yeZ, х+у=2}.

Постройте на плоскости множество {(д,у) | |д|+1у|=2}.

• 7. Постройте на координатной прямой числовые множества. Запишите их другим способом.
• а) [-3,2), б) {*eR | |х—2|<3}, в) {х*Ъ |дг-1,5|<2},
• г) {д-GN I |д-31<5}, д) {хg R I [х+11>4}.

Задачи на нахож дение геометрического места точек (ГМТ)

• 8. Даны точки А и В. Найдите множество всех точек М плоскости, таких, что феугольник АМВ - тупоугольный.
• 9. ABCD - квадрат. Найдите множество точек: {A/gR²| сумма расстояний от Мдо (АВ) и (CD) равна сумме расстояний от М до (AD) и (ВС)}.
• 10. ABCD - квадрат, О - его центр. Найдите множество:

{М| |ОЩ < min{AM,BM,CM,DM} }.

11. Найдите ГМТ пространства, удаленных на данное расстояние от данной прямой.

Тема 8. Равные множества. Отношение включения

• 1. Какие из следующих утверждений являются верными:
  • а) {1,2} с {1,2,3}, {3,4} <={{3,4} ,5}, {3,4} g {{3,4} ,5},
  • б) 3 <= {1,2,3}, {3} с {1,2,3}, 3 е {1,2,3}, {3} € {1,2,3},
  • в) 0с{1,2,3},0с0,0с{0},0е 0,0 е {0} ?
• 2. Равны ли следующие множества? Является ли одно из них подмножеством

другого?

• а) {1,2,3,4} и {4,3,2,1}, б) {а,Ь,а,с} и {а,Ь,с},
• в) {1,2,3} и {1,{2,3