Модели и методы авторегрессии

Авторегрессионные модели широко используются для описания стационарных случайных процессов. Характерной особенностью стационарных временных рядов является то, что их вероятностные свойства рядов не изменяются во времени. Иначе говоря, функции распределения стационарных динамических рядов не меняются при сдвиге времени.

Модель, в которой расчетные значения уровней ряда определяются как линейная функция от предыдущих наблюдений, называют авторегрессионной. Если текущая величина уровня ряда уt зависит только от одного предшествующего значения уt-1 то такая модель является авторегрессионной моделью первого порядка АР (1), если уt, зависит от двух предшествующих уровней уt-1, и уt-2, моделью второго порядка АР (2) и т.д. до порядка р, т.е. АР (р).

Если АР-модель имеет первый (р = 1) или второй порядок (р = 2), то она приобретает соответственно следующий вид:

Идентификация АР(р) модели состоит в определении ее порядка р. Одной из предпосылок построения модели этого типа является применение их к стационарному процессу. Поэтому в более широком смысле идентификация модели включает также выбор способа трансформации исходного ряда наблюдений, как правило, имеющего некоторую тенденцию, в стационарный (или близкий к нему) ряд. Один из наиболее распространенных способов решения этой проблемы - последовательное взятие разностей, т.е. переход от исходного ряда к ряду первых, а затем и вторых разностей.

"Чистые" авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционную функцию (АКФ). В этом случае в качестве порядка модели выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину. Однако на практике редко встречаются процессы, которые легко было бы идентифицировать. Поэтому порядок модели обычно определяется методом проб из нескольких альтернатив. В число кандидатов включаются модели, у которых порядок соответствует ЧАКФ, превышающей стандартное отклонение 1/N. При обработке разностных рядов иногда ориентируются на АКФ, выбирая модели, у которых порядок соответствует максимальному ее значению, при условии, что оно превышает стандартное отклонение.

Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. АР-модели вообще не предназначены для описания процессов с тенденцией, однако они хорошо описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей.

Чтобы применить АР-модели к экономическим процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стационарный ряд, исключая тенденцию, путем перехода от исходного ряда к ряду разностей соседних значений членов ряда. Например, переход от исходного ряда yt(t =1,2,..., п) к ряду ∆yt(t =1,2,..., п - d) первых (d = 1) или вторых (d = 2) разностей осуществляется следующим образом:

t = 1, 2,..., п при d = 0;

t= 1,2,..., п - 1 при d = 1;

t = 1,2,..., п - 2 при d = 2.

Первоначальный (исходный) ряд является интегрированным рядом первого порядка, когда его первые разности образуют стационарный ряд динамики. Если для формирования стационарного временного ряда требуется получить ряд вторых разностей, то исходный ряд называется интегрированным рядом второго порядка и т.д.

После перехода к разностным рядам авторегрессионная модель порядка т первых разностей (приростов) и вторых разностей приобретает соответственно такой вид:

Таким образом, АР-модели разностных временных рядов характеризуются двумя параметрами: р (порядок авторегрессии) и d (порядок конечных разностей), поэтому записываются как АР (р, d).

Простейшим способом определения наиболее подходящего разностного ряда является вычисление для каждого ряда (d = 0, 1, 2) его дисперсии. Для дальнейшей обработки выбирается ряд, у которого величина этого показателя минимальна.

Для идентификации порядка модели может быть использована частная автокорреляционная функция. Если для т лагов частные коэффициенты автокорреляции статистически значимы, а затем для лагов т + 1 и далее резко падают до нулевого значения, то это указывает на авторегрессионный процесс порядка т.

При моделировании нестационарных по своей природе экономических процессов авторегрессионная функция объединяется с другими методами анализа динамики: скользящей средней, трендом, сезонной волной. Объединение разных моделей в единое целое существенно расширяет сферу их использования.

Построение моделей авторегрессии и получение прогнозных оценок исходного ряда возможно только с использованием программных средств. При грамотном использовании хорошие результаты дает модель Бокса - Дженкинса.

Данную модель также называют авторегрессионной интегрированной моделью скользящего среднего или сокращенно АРИСС , d, q).

При построении АРИСС-моделей с использованием программных средств осуществляются:

  • а) идентификация динамического ряда (определение размерности операторов конечной разности d, авторегрессии р и скользящего среднего q);
  • б) оценивание параметров модели;
  • в) проверка адекватности модели.

Пример 5.4. Рассмотрим построение прогноза объема продаж с использованием программы SPSS.

В результате расчетов в качестве лучшей выбрана модель ARIMA (1, 1, 0). Ниже в табл. 5.8 и 5.9 приведены расчеты построения прогноза объема продаж, выполненные с использованием программы SPSS. На рис. 5.2 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по этой модели. Построенная модель характеризуется высоким коэффициентом детерминации 0,986 и низким значением средней относительной ошибки аппроксимации 6,48%.

Таблица 5.8

Параметры модели АРПСС

Оценка

Стандартная

ошибка

t

Знач.

Y-Модель_1

Y

Нет преобразования

Константа

12,175

2,144

5,679

,000

АР

Лаг 1

-,390

,162

-2,400

,022

Дифференцирование

1

Таблица 5.9

Прогноз объема продаж, границы доверительного интервала

Неделя

Прогноз

Нижняя граница р = 95%

Верхняя граница р = 95%

36

454,89

419,80

489,98

37

465,93

424,82

507,04

38

478,55

429,50

527,59

39

490,55

435,65

545,45

Прогнозирование объема продаж по модели ARIMA (1,1,0)

Рис. 5.2. Прогнозирование объема продаж по модели ARIMA (1,1,0)

 
Внимание, данный материал имеет низкое качество распознавания
Для получения качественного изображения воспользуйтесь загрузкой
одним файлом в формате Djvu на странице Содержание
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >