Производственная функция. Предельная функция технологического замещения

• Под производством понимается деятельность по использованию ограниченных ресурсов с целью создания максимального количества продукта или услуги соответствующего качества.

Ресурсы, используемые в экономической деятельности (факторы производства), делятся на первичные (создают новую стоимость) и вторичные (новую стоимость не создают).

К первичным факторам производства относятся труд (L), капитал (К), земля и предпринимательские способности.

Модель процесса производства описывается при помощи производственной функции, выражающей технологическую взаимосвязь между конечным выпуском Q и затратами факторов производства. Если используется п факторов производства, то производственная функция имеет вид:

где Х{ — количество используемого i-ro фактора производства.

Как правило, в простой производственной функции учитываются два фактора производства: труд и капитал. В неявном виде она записывается следующим образом:

где/— форма функции; Q — максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства (L и К). Все параметры производственной функции описываются в натуральных единицах.

Наиболее часто для представления модели производства применяется функция, полученная математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Функция Кобба — Дугласа имеет следующий вид:

где А — эффективность технологии; а, р — частная эластичность выпуска соответственно по труду и капиталу.

Функция Кобба — Дугласа описывает экстенсивный тип производства и характеризуется следующими свойствами.

Во-первых, взаимодополнением факторов производства. Если хотя бы один фактор равен нулю, то и выпуск равен нулю:

Исключение составляет функция вида

Во-вторых, аддитивностью. Можно объединить факторы производства СЦ; Кг) и (12; К2). Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства: /(Lj + L2;Kl + К2)>/(Ц; К,) + f(l2; К2).

В-третьих, делимостью. Процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие:

где п — любое положительное число.

В-четвертых, отдачей от масштаба. Если затраты L и К изменяются в X раз, как правило, возрастают, то выпуск изменяется в Хп раз:

При этом, если п = 1, то имеем неизменную отдачу от масштаба; n > 1 — возрастающую отдачу от масштаба; п < 1 — имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы — издержки на единицу продукции не изменяются.

График производственной функции, отражающий одинаковый уровень выпускаемого продукта при различных комбинациях факторов производства (труда и капитала), называется изоквантой.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат.

Изокванты (а), карта изоквант (6)

Рис. 4.1. Изокванты (а), карта изоквант (6)

В отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты отражают реальный уровень производства.

• Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant тар).

На рис. 4.1 изокванты представлены в трехмерном измерении. В этом случае изокванты, применяющие сочетания факторов производства (Lj, К,), (12, К2), будут иметь одинаковую проекцию. При применении более прогрессивной технологии выпуск продукции увеличивается, и изокванта будет расположена выше и правее (см. рис. 4.1, б).

На расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры. Эффективность технологии (параметр А в функции Кобба — Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис. 4.2).

Эффективность технологии

Рис. 4.2. Эффективность технологии

В точках М( 1,5; 3) и М'( 1; 2) осуществляется один и тот же выпуск продукции Qj = 10. Изокванта на рис. 2, б представляет более эффективную технологию, так как демонстрирует более низкие затраты на единицу продукции.

В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фирма может изменять объем производства. Обычно деятельность фирмы рассматривают в краткосрочном и долгосрочном временном интервале.

Состояние и параметры факторов производства в краткосрочном периоде определены предшествующими решениями фирмы (состав и количество оборудования, размер производственных площадей и т.д.). В долговременном периоде все факторы производства являются переменными.

Производственная функция фирмы Q = /(L; К). Один и тот же объем производства можно получить, используя различные сочетания затрат факторов ОЦ; К}), (L2; К2) и др. При переходе из точки Сг в точку С2 затраты капитала сокращаются на ДК, а затраты труда увеличиваются на AL (рис. 4.3, а).

Предельная норма замещения

Рис. 4.3. Предельная норма замещения

л лк

Отношение--характеризует замещение одного фактора про-

АL

изводства другим при сохранении объема выпуска и называется предельной нормой технологического замещения (Marginal rate of technical substation, MRTS):

Предельная норма технологического замещения в данном виде замещения измеряет наклон изокванты на дуге.

Знак «-» приписываем, чтобы MRTS была положительной величиной, так как АЬиАК имеют разные знаки.

Если факторы производства бесконечно делимы и изменения затрат — бесконечно малые величины, то:

Предельная норма технологического замещения в данном виде измеряет наклон изокванты в точке.

Предельная норма замещения убывает по мере движения вдоль изокванты. Следовательно, изокванта выпукла относительно начала координат (рис. 4.3, б). Когда затраты труда растут и происходит замещение капитала трудом, труд становится менее производительным фактором, а производительность капитала, наоборот, возрастает. Когда труд замещается большим количеством капитала, то отдача капитала снижается.

На объем выпуска продукции оказывает влияние капиталоемкость технологии, которая определяется коэффициентом K/L, характеризующим величину затрат капитала, приходящуюся на единицу затрат труда.

На рис. 4.4 представлены изокванты с выпусками Q: и Qp с одними и теми же затратами труда L и различными затратами капитала

соответствует больший

К к

К., > К,. Большей капиталоемкости — > —

2 1 т т

объем производства Q2 > Qr

Капиталоемкость технологии

Рис. 4.4. Капиталоемкость технологии

Наклон изокванты измеряется предельной нормой технологиче-

dK 1

ского замещения. Наклон изокванты Q, равен —-— = eg а,, наклон изо-

djR.

кванты Q2 определяется как —= tga2. Так как tg(x: >tga2, то пре-

QL

дельная норма замещения труда капиталом на изокванте Q: превышает норму замещения на изокванте Q2 и имеет место неравенство dK, dK2

—-1- > ——. Выразим предельную норму замещения через соотноше- dh dh г,

ние предельной производительности труда и капитала MRTS = — Тогда имеем

Таким образом, на единицу предельного продукта труда предельный продукт капитала при технологии Q: меньше, чем предельный продукт капитала при технологии Q2. Если к обоим производственным процессам добавить единицу труда, то из процесса производства Q2 следует изъять меньшее количество капитала, чем из процесса Qv что подтверждает более высокую капиталоемкость процесса производства Q2 по сравнению с процессом производства Qr

Представим графически ситуацию, когда Q2 > Qp и в обоих процессах производства используется одно и то же количество капитала К, но разное количество труда L1 и L2, при этом I2 > Ly Тогда капиталоемкость в точке на изокванте Q, больше капиталоемкости на изо-

Л К К кванте Q„ т.е. — > —.

2 U L2

Трудоемкость технологии

Рис. 4.5. Трудоемкость технологии

Определим наклоны изоквант вначале тангенсом угла касательных tg(n - а2) > tg - аа), а затем выразим их через соотношение предель-

/' fl

ных продуктов труда и капитала.: -—> Отсюда f[2 > . На еди-

JK JK

ницу предельного продукта капитала предельный продукт труда при технологии 02больше, чем при технологии Qr Если к обоим процессам добавляется единица труда, то из процесса Q, будет изъято меньшее количество капитала, чем из процесса Qr Это подтверждает более высокую трудооемкость K/L2 процесса Q2.

Таким образом, более трудоемкой технологии соответствует большая норма технологического замещения, но меньший выпуск.

Любая фирма стремится получить максимально возможную прибыль. Но в реальной практике деятельность фирмы ограничена рядом сдерживающих факторов: PL—цена труда, Рк — цена капитала заданы рынком, С — общие издержки фирмы.

Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средства С на покупку труда в количестве Pl L и капитала в количестве Рк К. Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид С Р

С = PL ? L + Рк ? К, или К =---- ? L. Это уравнение изокосты (isocost

Рк Рк

^ dKPL

line). Ее наклон отрицателен и равен — = —— = tg(n-a), соотноше-

dL Рк

нию цен факторов производства (рис. 4.6, а).

Изокоста (а) и условие минимизации издержек (б)

Рис. 4.6. Изокоста (а) и условие минимизации издержек (б)

Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.

При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы.

Фирма может производить продукцию в точке В в объеме Q2, или в точке А в объеме Q2 (рис. 4.6, б). Выпуск Q2 — максимально возможный. В точке А изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется

dK f[ dK PL

MRTS = —— =—, а наклон изокосты -—=--. Приравняв

dL Q=Const fk dL PK

наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации

г/ р г/ г,

издержек или — = —. В данном случае будут минималь-

Jk Рк Pl Рк

ными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >