Кинематика твердого тела. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Точки этого тела при вращательном движении описывают окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. При этом радиусы, направленные в любую из точек, поворачиваются за время dt на одинаковый угол сЛр. Пусть некоторая точка i движется по окружности, описываемой радиус-вектором r](t) (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Угол поворота <р во вращательном движении является аналогом пройденного пути S в поступательном движении. Уравнения движения в нашем трехмерном мире наиболее информативны в векторном виде. Поэтому необходимо задать вектор углового перемещения с/ср во вращательном движении как аналог векторного перемещения dr в поступательном движении. Этот вектор не может быть направлен по направлению движения точки, поскольку при вращении разные точки движутся в разных и меняющихся направлениях, а вектор углового перемещения должен характеризовать направление вращения тела в целом. Поэтому направление вектора dtp (точнее, псевдовектора — поскольку его можно откладывать из любой точки оси) зададим направлением поступательного движения острия правого винта, головка которого вращается в направлении движения точки но окружности. Несложно убедиться, что при таком определении но правилу правого винта вектор углового перемещения для любой точки тела направлен в одном направлении.

Введем теперь понятие угловой скорости со, характеризующей быстроту вращения тела. По аналогии с поступательным движением

причем вектор угловой скорости ш имеет то же направление, что и (1ф.

Рис. 4.2

Линейная скорость точки (рис. 4.2) связана с угловой скоростью соотношением

Если уравнение (4.2) записать в векторном виде, то оно свяжет векторы скорости, угловой скорости и радиуса окружности по правилу правого винта. В обобщенном трехмерном виде уравнения (рис. 4.3) правилу правого винта соответствует векторное произведение

где г — в общем случае трехмерный (а не двумерный) радиус-вектор произвольной точки тела.

Если вектор угловой скорости постоянен, то вращение называют равномерным с периодом Т и частотой вращения гг.

Дадим теперь по аналогии с поступательным дви- Рис. 4.3

жением определение углового ускорения г как быстроты изменения угловой скорости

Опять же но аналогии при ускоренном движении вектор углового ускорения соналравлен вектору угловой скорости, при замедленном — противонаправлен ему (в обоих случаях направлен в сторону элементарного приращения угловой скорости). Угловое ускорение можно связать с тангенциальным ускорением (1.13) с помощью формулы (4.2):

В свою очередь, угловую скорость удобно связать с нормальным ускорением (1.15):

Если сложить с помощью теоремы Пифагора тангенциальное и нормальное ускорения, то получим для модуля полного ускорения:

4.2. Работа при вращательном движении. Момент силы

Рис. 4.4

Рассмотрим работу, совершаемую при вращении материальной точки по окружности за счет проекции действующей силы на перемещение (тангенциальной составляющей силы). В соответствии с формулой (3.1) и рис. 4.4, перейдя от параметров поступательного движения к параметрам вращательного движения (dS = AV/ф), получим

Здесь введено понятие момента силы относительно оси вращения 00{ как произведение силы Fs на плечо силы R:

Как очевидно из соотношения (4.9), момент силы во вращательном движении является аналогом силы в поступательном движении, поскольку оба параметра при умножении на аналоги дц> и dS дают работу. Очевидно, момент силы тоже должен задаваться векторно, причем относительно оси 00, его определение дается через векторное произведение и имеет вид

Окончательно работа при вращательном движении равна скалярному произведению момента силы на угловое перемещение:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >