Затухающие колебания. Коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент, время релаксации

В реальных случаях колебательная система всегда теряет энергию колебаний — имеет место затухание колебаний. Например, в механических колебаниях при небольших амплитудах диссипативная сила (сила сопротивления) часто пропорциональна скорости v колеблющегося тела. Чем больше скорость, тем больше сила. Это может быть справедливо, например, для тела, совершающего колебания в вязком воздухе или жидкости. А в колебательном контуре потеря энергии колебаний идет на выделение тепла на активном сопротивлении R (например, проводов). Все такие процессы подобны и описываются уравнением затухающих колебаний.

Рассмотрим затухающие колебания, происходящие в физическом маятнике. Пусть сила сопротивления равна

где г — коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и формы маятника (знак «минус» отражает то, что сила направлена в сторону, противоположную скорости).

Из основного уравнения динамики вращательного движения (4.26) М = /<р", где суммарный момент сил М = -mgL - r/Ар. После преобразований получим

mgL //.

где 03ц = ——; р = -гг — коэффициент затухания. Мз теории известно, что

JlJ

решение уравнения (5.15) зависит от знака параметра

Если этот параметр положителен, то решение имеет вид

В этом несложно убедиться прямой подстановкой выражения (5.17) в уравнение (5.15). Именно в наложении задающей скорость затухания экспоненты на косинус (рис. 5.5) заключен математический смысл затухающих колебаний. Экспоненциальную функцию при косинусе

называют амплитудой затухающих колебаний. Из формулы (5.16) следует, что для затухающего физического маятника частота колебаний несколько меньше, чем для незатухающего. При увеличении коэффициента затухания Р период затухающих колебаний растет, причем при р —?со0 период Т —* оо. При р = со0 решение (5.17) перестает быть периодическим и вырождается в экспоненциальное затухание. При р > со0 в аргументе косинуса (5.17) оказывается мнимая величина, и движение опять оказывается апериодическим (поскольку в соответствии с теорией функции комплексной переменной косинус комплексного аргумента перестает быть периодической функцией).

Рис. 5.5

Коэффициент затухания р показывает, насколько быстро затухают колебания.

Приведем еще один полезный временной параметр. Время релаксации — это время т, за которое амплитуда уменьшилась в е раз, так что

Очевидно, что т = 1/р.

Количество колебаний, которое происходит за это время, равно

Иногда более наглядным оказывается декремент затухания, показывающий, во сколько раз уменьшается амплитуда за одно колебание:

Быстроту затухания на практике также характеризуют логарифмическим декрементом затухания, который связан с количеством колебаний Ne, приводящих к уменьшению амплитуды в е раз, соотношением

Рассмотрим теперь затухающие колебания грузика на пружинке. По аналогии с формулой (5.8) получим

k г

где &),? = —, коэффициент затухания В = -—. Аналогично решению (5.17) т 2т

координата грузика колеблется по гармоническому закону

где по-прежнему со2 = со^ - р2.

Наконец, рассмотрим затухающие колебания заряда в колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктивностью L, конденсатора с емкостью С и сопротивления R. Из закона Ома (см. подробнее в разделе «Электродинамика» ) имеем

или по аналогии с формулой (5.11)

1 R

где на этот раз со02 = —, р = —. Аналогично решению (5.17) заряд колеб-

L.O ZL

лется по закону

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >