Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ФИЗИКА
Посмотреть оригинал

Волновое уравнение упругой волны и его решение

Выведем дифференциальное волновое уравнение, решением которого является уравнение плоской упругой волны. Прежде всего запишем закон Гука (3.15) для деформированного тела. Ранее мы формул провали этот закон для пружинки, к которой приложена сила. Деформированное тело можно представить как набор пружинок, каждая из которых в каждый момент времени взаимодействует с соседними.

Выделим элемент упругого стержня длиной Ах. Закрепив левую часть элемента, правую сместим на величину As вдоль оси х (рис. 7.1). По закону

Рис. 7.1

Гука сила упругости Fyiip пропорциональна деформации: Fyiip = -kAs. Коэффициент упругости k зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.

F

Введем понятия нормального напряжения а = — (S — площадь сечения

О

As ds

элемента) и относительной деформации г = — ~ (для элемента малой

длины). Запишем закон Гука для упругого тела через эти понятия: aS = kzAx, или

kAx

где Е = -у- — модуль Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Это несложно показать, рассматривая упругое тело как набор последовательно и параллельно соединенных пружинок. Модуль Юнга меняется в широких пределах. Так, для стали этот коэффициент равен 2-1011 Н/м2, а для резины в сто тысяч раз меньше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся вдоль упругого стержня. По-прежнему будем рассматривать элемент стержня площадью сечения S и длиной Ах в невозмущенном состоянии. Применим второй закон Ньютона для описания колебаний этого элемента как целого (рис. 7.2):

Здесь в левой части имеем произведение массы элемента р5Ах на вторую производную смещения центра масс элемента; р — плотность стержня. В правой части — алгебраическая сумма внешних сил, действующих на элемент с торцов.

Рис. 7.2

Разделим обе части уравнения на SAx и, устремив Ах том определения производной

0, получим с уче-

Наконец, воспользовавшись определением относительной деформации е, получим волновое уравнение

Убедимся, что уравнение плоской волны (7.7) с произвольной начальной фазой s(x, t) = Acos(u)t - kx + а) является его решением:

Подставив эти выражения в уравнение (7.13), получим для фазовой скорости упругой продольной волны соотношение

В результате волновое уравнение (7.13) можно записать в виде

Можно геометрически показать, что для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении в трехмерном пространстве, волновое уравнение имеет вид

или в сокращенном виде с помощью скалярного оператора Лапласа

можно записать

Волны вида s(x, t) = Acos(oj( - kx + a), все точки которых перемещаются с одной и той же скоростью, принято называть бегущими. Временной график такой волны представляет синусоиду, равномерно перемещающуюся со временем вдоль оси х.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы