Принцип суперпозиции при сложении волн. Стоячая волна. Колебания струны

Принцип суперпозиции волн утверждает, что волны от различных источников не влияют друг на друга и сложное колебание от двух или большего числа источников находится путем геометрического сложения волн от отдельных источников. Рассмотрим наложение двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой. В такой ситуации возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. Сложим бегущую но оси х волну s{(x, t) = ^cos(co? - kx) и бегущую против оси х волну s2(x, t) = i4cos(co^ + kx) и получим уравнение стоячей волны

Здесь использованы формула для суммы косинусов и свойство четности косинуса. Поскольку каждая из составляющих стоячей волны является решением волнового уравнения, то и их сумма тоже является его решением. В стоячей волне все точки совершают колебания с одинаковой частотой со, а амплитуда в каждой точке определяется выражением

Точки нулевой амплитуды называют узлами стоячей волны. Для узлов

Расстояние между узлами равно половине длины волны. Наибольшее значение амплитуды колебаний (7.34) достигается в пучностях стоячей волны, где

В стоячей волне — в отличие от бегущей — нет переноса энергии (перенос энергии одной составляющей волны влево уравновешивается переносом другой составляющей волны вправо). По сути она является не волной, а колебательным процессом, в котором кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.

Рассмотрим в качестве примера колебания струны, закрепленной с двух концов. Такое закрепление задает граничные условия 5(0, t) = 5(/, t) = 0 на концах струны (х = 0 и х = /). Граничные условия связаны с тем, что струна на закрепленных концах не может колебаться. Амплитуда колебаний 2Acosfcr при х = 0 в нуль не обращается. Поэтому по аналогии с уравнением (7.34) выберем для упрощения записи граничных условий стоячую волну в виде суммы косинусов со сдвигом по фазе в начале координат на л, так чтобы автоматически удовлетворялось граничное условие 5(0, t) = 0 при х = 0 в начале координат:

Из второю граничного условия sinkl = 0 следует квантование (возможность принимать лишь дискретные значения) волнового числа и длины волны:

Таким образом, в результате квантования вдоль струны должно укладываться целое число полуволн (рис. 7.3). Из связи длины волны с частотой v = v/X несложно получить набор частот колебаний струны:

Рис. 73

Частота, соответствующая п = 1, называется основным тоном; п = 2 — первым обертоном и т.д.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >