Интервал, его инвариантность. Четырехмерный мир Минковского и 4-векторы

Отметим, что в механике Ньютона координаты произвольных точек 1 с координатами {, yv 2,) и 2 с координатами 2, yv z2) зависят от системы отсчета, но расстояние (классический интервал) I между точками не зависит от системы — является инвариантом. По теореме Пифагора

В этой инвариантности несложно убедиться, воспользовавшись преобразованиями Галилея (8.1).

В релятивистской механике все сложнее. Чтобы понять это, сформулируем математическую суть принципа постоянства скорости света. Пусть световой сигнал послан в системе К из точки 1 в момент времени ?, так, что он приходит в точку 2 в момент времени t2. При этом очевидно, что пройденное расстояние / равно произведению скорости на интервал времени ct, так что

Здесь введено обозначение t = t2 - tv Подобные рассуждения можно выполнить и для движущейся системы К', причем из постоянства скорости света следует аналогичный результат:

называют релятивистским интервалом (или просто интервалом). Часто пользуются квадратом релятивистского интервала:

и формулой, в которой начальные значения времени и координат равны нулю:

Попробуем разобраться в свойствах интервала.

В общем случае интервал может быть отличен от нуля. Предположим, что в нулевой момент времени из начала координат испускается сферически симметричный световой сигнал. В момент времени t s2 = 0 на сфере радиуса etc центром в начале координат, s2> О внутри этой сферы (где сигнал уже прошел), s2< О вне этой сферы (куда сигнал еще не дошел и интервал является мнимой величиной).

Дифференциал от квадрата интервала, очевидно, имеет вид

Из формул (8.6) и (8.7) следует, что если интервал обращается в нуль в одной инерциальной системе К, то это имеет место и в другой инерциальной системе К'. Очевидно, что ds2 и ds'2 должны быть одного порядка малости. Из этих двух утверждений следует пропорциональность интервалов

причем коэффициент пропорциональности может зависеть только от модуля относительной скорости систем. Это соотношение справедливо для перехода из системы К в систему К'. Для обратного перехода эти рассуждения тоже справедливы и дают аналогичный результат:

Сравнение двух последних уравнений показывает, что а = 1. Из ds2 =ds'2 следует

Таким образом, релятивистский интервал сохраняется при переходе (инвариантен относительно перехода) из одной инерциальной системы в другую, что следует из постоянства скорости света.

Из сравнения классического и релятивистского инвариантов можно сделать далеко идущие выводы. В классической механике используется трехмерное евклидово пространство, в котором квадрат интервала равен сумме квадратов трех координат. В релятивистской механике к трем пространственным координатам добавилась четвертая, временная, где время для сохранения размерности домножено на скорость света. При этом временную координату считают обычно нулевой координатой. Такое пространство называют четырехмерным пространством Минковского или четырехмерным псевдоевклидовым пространством. Псевдоевклидовость его проявляется в особенностях нахождения интервала: квадрат релятивистского интервала в соответствии с формулой (8.10) равен разности квадрата временной координаты и квадратов пространственных координат.

В четырехмерном пространстве Минковского оперируют с четырехмерными векторами (сокращенно 4-векторами). Так, координаты 4-радиус- вектора даются формулами

или в сокращенном виде

(не путайте номер координаты с возведением в степень!).

В релятивистской механике введены также 4-векторы скорости, ускорения, импульса, силы и т.д. Существенно, что все 4-векторы построены так, что обладают двумя важными свойствами. Во-первых, их квадрат инвариантен относительно перехода из одной инерциальной системы в другую. Во-вторых, при переходе из одной инерциальной системы в другую любой 4-вектор преобразуется в соответствии с преобразованиями Лоренца (см. ниже).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >