Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца — это уравнения, связывающие координаты и время в инерциальных системах отсчета с учетом постулатов релятивистской механики. Кроме того, они позволяют преобразовывать координаты и других 4-векторов. При малой скорости движения системы отсчета (Vпреобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

Найдем вид преобразований Лоренца из геометрических соображений, воспользовавшись инвариантностью интервала относительно перехода из одной инерциальной системы в другую. Для начала рассмотрим классический интервал в евклидовом двумерном пространстве (плоскости). Интервал (длина отрезка) нс меняется только при параллельном переносе и повороте системы координат. Параллельный перенос сводится к изменению начала координат и нс представляет интереса. В результате инвариантное преобразование сводится к задаче о повороте системы координат. Переход от одной системы координат к другой при повороте на угол (р осуществляется по формулам вида

Вернемся теперь к нашему четырехмерному псевдоевклидову пространству с преобразованием, соответствующим рис. 8.1. Поскольку штрихованная система движется вдоль координаты х, то естественно предположить, что координаты у и z не меняются. Таким образом, поворот идет в плоскости, определяемой лишь координатами х и ct. В соответствии с геометрической теорией формулы перехода похожи на формулы евклидовой геометрии:

При этом место синуса и косинуса в псевдоевклидовой геометрии занимают гиперболический синус shtp = (еч> - е ,?)/2 и гиперболический косинус ch ф = (еф + е )/2. Найдем теперь угол ф, который может зависеть только от относительной скорости систем V. Для этого рассмотрим движение начала координат системы К' в системе К. При этом х' = 0 и формулы перехода (8.15) имеют вид

Разделив первое уравнение на второе и воспользовавшись очевидным тождеством

получим

Для рассматриваемого случая, очевидно, — = К так что имеем в результате

Отсюда несложно выразить

Теперь из формул (8.15) получаем обратные преобразования Лоренца:

Здесь для краткости записи введено обозначение

Прямые преобразования Лоренца получаются, например, при изменении знака скорости на противоположный:

Несложно проверить, что при нерелятивистских скоростях (V с) у = 1 и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (8.1).

В преобразованиях Лоренца — в отличие от преобразований Галилея - координаты и время перемешаны: время определяется координатами, а координаты — временем. В этом проявляется взаимосвязь координат п времени.

При V > с выражения (8.17) и (8.19) для t, t', х, х' являются мнимыми. Это означает, что движение тела со сверхсветовыми скоростями невозможно. Невозможно и движение системы со скоростью света, поскольку в формулах знаменатель равен нулю.

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >