Импульс тела и основное уравнение релятивистской динамики

Получим сначала выражения для преобразования скоростей в релятивистской динамике. Возьмем дифференциалы от выражений (8.16), выразим через них компоненты скорости и поделим числители и знаменатели дробей на dt

Теперь мы вплотную подошли к обсуждению понятия импульса и закона сохранения импульса в релятивистской механике. Как уже отмечалось, закон сохранения импульса следует из фундаментальных соображений однородности пространства, которая предполагает, что параллельный перенос системы отсчета не влияет на результат измерений. Нет оснований полагать, что в четырехмерном пространстве (8.14) эта однородность нарушается. Тем нс менее можно показать, что классический импульс с учетом релятивистских преобразований (8.23)—(8.25) не сохраняется.

В качестве поддающегося простому расчету примера рассмотрим центральное абсолютно неупругое столкновение частиц одинаковой массы т. Пусть в системе К' их скорости одинаковы, равны относительной скорости систем Vy направлены вдоль оси х' и противоположны по направлению:

Тогда суммарный импульс частиц до и после столкновения в системе К очевидно, равен нулю. А вот в системе К, как несложно показать с помощью преобразований (8.23)—(8.25), классический закон сохранения импульса не соблюдается. Таким образом, классическое определение импульса

требует модификации. Инвариантной (не зависящей от внешних систем отсчета) характеристикой является собственное время частицы tc (время в связанной с частицей системе). Поэтому для получения инвариантного закона сохранения импульса есть основания использовать его в определении импульса. Полагаем, что скорость движения частицы 3, и с учетом формулы (8.19) имеем

Определение релятивистского импульса тела (8.28) позволяет сохранить закон сохранения импульса для релятивистского случая. Однако для этого надо уточнить связь импульса и массы с энергией, что будет сделано ниже. Очевидно, что при v с формула релятивистского импульса дает классическое выражение для импульса. Из определения релятивистского импульса (8.28) очевидно, что никакое тело не может двигаться со скоростью, большей скорости света в вакууме. При этом импульс может неограниченно расти.

Перейдем теперь к формулировке основного уравнения релятивистской динамики, являющегося обобщением второго закона Ньютона. Формально сила связана с импульсом тем же уравнением, однако импульс теперь релятивистский:

В одномерном случае имеем

Решить основное уравнение релятивистской динамики (8.29), очевидно, сложнее, чем второй закон Ньютона. При этом сила не является инвариантной и в разных инерциальных системах отсчета имеет разные модули и направления. Кроме того, ускорение часто не совпадает по направлению с силой. Масса перестает быть важным коэффициентом пропорциональности между ускорением и силой. Роль массы в уравнениях движения падает, и эти уравнения предпочитают формулировать через более физичные и лучше измеряемые в эксперименте импульс и энергию.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >