Распределение Максвелла по модулю скорости. Нахождение скоростей

При проведении расчетов часто используют распределение по модулю скорости. В отличие от распределения Максвелла по скорости (10.16) это распределение не различает направления скорости при фиксированном модуле. Для распределения Максвелла по скорости рассматривалась вероятность того, что проекции скорости имеют значение в пределах от vx до vx + dvx, от v до vy + dvy, от v2 до v, + dvz. Таким образом, конец вектора должен находиться в пределах прямоугольного параллелепипеда объемом dvydvdv2. В свою очередь для распределения по модулю скорости скорость имеет значение от v до v + dv, и конец вектора должен находиться в слое между сферами радиусов v и v + dv. Объем такого бесконечно тонкого слоя определяется площадью поверхности сферы и равен 4nv2dv. Очевидно, что отношение вероятностей равно отношению этих объемов, и из сравнения формул (10.16) и (10.17) имеем

откуда получаем распределение Максвелла по модулю скорости

Рис. 10.2

Это распределение позволяет сделать ряд интересных оценок для молекул газа. Несложно понять, как выглядит полученное распределение. При малых скоростях в формуле (10.19) квадратичная зависимость доминирует над экспонентой, которая близка к единице (рис. 10.2). При больших скоростях доминирует резко спадающая экспонента. В промежуточной области имеется максимум этой функции, который соответствует наиболее вероятному модулю скорости. Этот модуль для краткости и не совсем точно по традиции называют наиболее вероятной скоростью vB. Ее можно определить, приравняв к нулю производную от функции ср(г’):

Отсюда имеем для наиболее вероятной скорости:

Кроме того, в соответствии с формулой (9.18) можно вычислить ряд характерных усреднений. Найдем среднюю скорость (точнее, средний модуль скорости):

Интеграл взят по частям с предварительной заменой переменной v на v2. Наконец, найдем с помощью табличного интеграла средний квадрат скорости:

Это выражение дает среднеквадратичную скорость

Последняя формула, естественно, совпадает с формулой (9.8), полученной исходя из молекулярно-кинетической теории. Полученные характерные скорости различаются на 10—20%, причем vK < v < vKH.

Отметим, что уже при скоростях, на порядок больших средней скорости, существенную роль могут играть неупругие столкновения и система оказывается не вполне равновесной. Однако благодаря быстрому экспоненциальному спаду распределения в этом диапазоне скоростей при нормальных условиях сосредоточено небольшое количество частиц. Поэтому нарушение распределения в целом обычно оказывается несущественным.

Распределение Максвелла по модулю скорости позволяет получить распределение по кинетической энергии 8, поскольку кинетическая энергия легко выражается через скорость. Действительно, в соответствии с формулой (9.14) dw = q>(v)dv = ф(г)г/в, откуда ф(с) = q{v)dv/dz.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >