Броуновское движение и диффузия

Рассмотрим движение малой частицы, например пылинки, в жидкости или газе. Молекулы среды вследствие теплового движения постоянно наносят удары с разных сторон по такой частице — оказывают на нее давление. И если размеры частицы ненамного превосходят размеры молекул, то давления с разных сторон в отдельные моменты времени оказываются некомпенсированными. А поскольку масса частицы мала, то случайные удары молекул могут приводить к хаотическому движению частицы. Иными словами, постоянные микроскопические флуктуации давления приводят к случайным перемещениям малых частиц. Такой процесс может, в частности, приводить к диффузии частиц. Хаотическое движение малых частиц в жидкости или газе называется броуновским движением. Такое движение микрочастиц пыльцы растений впервые заметил в 1827 г. английский ботаник Р. Броун. Масса броуновских частиц может составлять порядка 10 16 кг, а скорость хаотического движения — 1 см/с.

Запишем второй закон Ньютона для частицы массы т вдоль оси х

х'

в предположении действия на нее силы F и силы вязкого трения —, про-

В

порциональной скорости частицы:

Смысл коэффициента В, называемого подвижностью частиц, определяется стационарным случаем, когда F = const и дрейфовое движение под действием силы становится равномерным. Тогда из уравнения (11.35) следует

Таким образом, подвижность частиц является коэффициентом пропорциональности между вызывающей дрейф частиц силой и скоростью дрейфа. Отметим, что в электродинамике часто определяют подвижность В t как коэффициент пропорциональности между вызывающей дрейф заряженных частиц напряженностью электрического поля и скоростью дрейфа:

С учетом известной формулы электродинамики, связывающей действующую на заряд q силу Fс напряженностью электрического поля F,

несложно получить связь между двумя подвижностями:

Предположим теперь, что причиной броуновского движения является случайная сила F, среднее по времени значение которой равно нулю (Fcp= 0). Уединим случайную силу в правой части уравнения и умножим обе части уравнения на х.

Уравнение движения может быть преобразовано с учетом соотношения хх" = (хх1)' - х'2:

Усредним полученное уравнение по большому числу броуновских частиц:

Благодаря хаотичности движения частиц можно считать, что координата х и сила /-"являются статистически независимыми и среднее значение их произведения равно произведению средних и равно нулю: (xF) = 0. Из формулы (9.6) несложно получить: т{х'2) = kT. Тогда усредненное уравнение движения приобретает вид несложного дифференциального уравнения относительно хх':

Решение такого уравнения имеет экспоненциальный вид. Если в начальный момент времени частица находилась в начале координат и {хх')(? = 0) = 0, то это решение можно записать следующим образом:

где характерное время т = 1 /(Вт) мало по сравнению со временем наблюдения броуновской частицы. Поэтому при установившемся движении экспонентой можно пренебречь, и имеем

Интегрирование этого выражения относительно 2) с учетом начального условия (x2)(t = 0) = 0 дает формулу Эйнштейна для хаотического движения частиц

Таким образом, перемещение частицы вдоль координаты при хаотическом движении пропорционально не времени (как это имеет место при равномерном движении) и не квадрату времени (как это имеет место при равноускоренном движении), а квадратному корню из времени.

Броуновское движение можно интерпретировать как процесс диффузии. Для установления связи параметров этих процессов рассмотрим, как ведут себя броуновские частицы в однородном силовом поле — например, поле силы тяжести. В такой системе в стационарном состоянии устанавливается распределение Больцмана (10.31). При этом поток частиц, движущихся под действием силы с дрейфовой скоростью Bmg, уравновешивается диффузионным потоком (11.17):

Подставляя в это уравнение выражения для концентрации броуновских частиц и ее производной, получим соотношение Эйнштейна

Теперь из формулы (11.47) имеем еще одно выражение для описывающей дрейф частиц формулы Эйнштейна для хаотического движения частиц:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >