Магнитная сила как релятивистская поправка к силе Кулона

Магнитная сила (сила Лоренца и связанные с ней сила Ампера и закон Био — Савара — Лапласа) не самостоятельна и является лишь релятивистской поправкой к силе Кулона. Проанализируем это утверждение и его следствия подробнее.

Рассмотрим задачу о взаимодействии движущихся зарядов (рис. 22.9). Пусть заряд Q, расположенный в начале координат системы К создает поле, оказывающее силовое воздействие на заряд q, движущийся со скоростью й'. Эта сила определяется в системе К' законом Кулона, который удобно записать в векторной форме:

Э

Рис. 22 Э

Найдем силу Кулона в системе К, относительно которой система К движется с постоянной скоростью v. При этом в соответствии с правилами релятивистской механики необходимо выполнить преобразование Лоренца 4-вектора силы Кулона для перехода из системы К' в систему К. Опустив громоздкие (но в принципе несложные) векторные преобразования, приведем выражение для релятивистской (обобщенной) силы Кулона:

С учетом известной формулы векторной алгебры

релятивистская сила Кулона выражается через двойное векторное произведение:

А отсюда недалеко и до суммы известных сил Кулона и Лоренца:

Здесь введены понятия напряженности электрического поля

и магнитной индукции

Получим и проанализируем теперь вариант релятивистского закона Кулона, который можно назвать полурелятивистским законом Кулона и который справедлив при скоростях зарядов, много меньших скорости света. Для этого надо устремить отношение скорости заряда к скорости света к нулю, однако делать это надо аккуратно. Результат выглядит следующим образом:

В дроби пренебрежение малыми величинами выполнено. Однако в круглых скобках второе слагаемое оставлено. Пренебрежение им означало бы пренебрежение магнитной силой по сравнению с электростатической силой Кулона, что в общем случае неверно. Такой избирательный подход к малым величинам требует количественных оценок.

Найдем сначала характерное значение скорости направленного движения электронов в алюминиевом проводе сечением S ~ 1 мм2, подводящим ток к электрической лампе мощностью 25 Вт. При напряжении 220 В и концентрации свободных электронов п ~ 6 • 1028 м 3 это дает ток / ~ 0,1 А и скорость направленного движения электронов всего лишь

Эта скорость на тринадцать с половиной порядков (!) меньше скорости света. А малость релятивистских эффектов оценивается квадратом отношения скоростей и определяется двадцатью семью порядками! Куда же исчезают эти двадцать-тридцать порядков малости? Ответ прост: они компенсируются малостью характерных зарядов электростатики по сравнению с зарядами, создающими магнитное поле. Действительно, избыточный заряд электроскопа измеряется обычно в напокулонах. А заряд носителей тока в нашем проводе длиной 1 м составляет 10 кКл. Поскольку в релятивистском законе Кулона заряд фигурирует в квадрате, то набираются тс же двадцать-тридцать порядков.

Таким образом, движение объекта (совокупности дрейфующих электронов) со скоростью медленной улитки благодаря релятивистскому сокращению расстояния и замедлению времени обеспечивает красивый и важный физический релятивистский эффект — магнетизм. Глубокое понимание сути магнетизма возникло в физике лишь в последние годы, причем до сих пор сохраняется определенная путаница в терминологии и описании происхождения релятивистских электродинамических явлений.

Можно даже гипотетически предположить, что, если бы теория магнетизма создавалась после, а не до теории относительности, то физики вообще обошлись бы без магнитного поля. Ведь сегодня на одну объективную силу Кулона приходятся два поля — электрическое и магнитное, что делает эти поля не объективным, а субъективным понятием. Например, в принципе не менее разумно было бы считать, что обобщенной силе Кулона соответствуют три поля — по числу составляющих в наиболее физичной и понятной формуле (22.49) для релятивистской силы Кулона. Или два поля, но других — по двум направлениям действия релятивистской силы Кулона в той же формуле. Впрочем, наиболее разумным представляется подход, когда одной реально действующей силе соответствует одно реальное поле.

Важно, что безмагнитная физическая теория может оказаться наглядней и проще, чем традиционная теория магнетизма. В основу безмагнитной физической теории может быть положен полурелятивистский вариант формулы (22.55) для релятивистской силы Кулона. Эта формула представляется более наглядной, чем абстрактные и громоздкие построения с привлечением магнитного поля. Из нее ясно, что релятивистская сила Кулона, действующая на заряд q со стороны заряда Q, имеет три составляющие, две из которых направлены по прямой, соединяющей эти заряды, а третья направлена вдоль скорости заряда Q.

Изложенный подход позволяет рассматривать электродинамику как следствие физичных и ясных силы Кулона и преобразований Лоренца, а не через громоздкие и нефизичные иолуэмпирические уравнения Максвелла. И жесткая связь между силой Кулона и преобразованиями Лоренца (с одной стороны) и магнитной силой (с другой стороны) позволяет сделать ряд принципиальных научных выводов.

Начнем с обсуждения возможности использовать преобразования Лоренца для перехода в неинерциальную систему.

Сразу отметим, что равномерному дрейфовому движению электронов при протекании тока в проводнике сопутствуют огромные по масштабам механики ускорения электронов. Так, среднее ускорение электрона в хаотическом тепловом движении, когда при каждом столкновении электрон меняет направление скорости, равно

а максимальное ускорение еще больше. Здесь в оценке концентрация рассеивающих центров принята равной концентрации атомов алюминия п ~ ~ 6 • 1028 м_3; из диаметра атома алюминия d0 ~ 2,86 • 10 10 м найдено сечение а ~ 6-10 20 м2; средняя тепловая скорость электрона принята равной V =

= J—— = 2 * 105 м/с, частота столкновений v находится по известной фор- V пт

муле v ~ па V. И такое немалое ускорение (на 20 порядков превышающееg), и колоссальные скорости теплового движения (на 10 порядков превышающие дрейфовую скорость) нисколько не мешают идеально работать преобразованиям Лоренца — как будто бы электроны просто не спеша равномерно двигаются по проводнику со скоростью неторопливой улитки.

Впрочем, еще более эффектно выглядит теперь задача о поле кругового тока. В свете вышеизложенного сила взаимодействия кругового тока с другимн зарядами и токами рассчитывается путем перехода в систему, связанную с электронами кругового тока, причем результат совпадает с известным экспериментальным и полуэмпирическим (по закону Био — Савара — Лапласа). А ведь мы перешли в неинерциальную систему, движущуюся по кругу!

Возможно возражение, что в макроскопическом витке с током нормальное ускорение за счет дрейфового движения электронов невелико и обычно много меньше ускорения свободного падения g. Но уже в электронном пучке, движущемся по кругу во внешнем магнитном ноле, ускорение на много порядков превышает g. Более того, есть круговые токи, которые подчиняются законам магнетизма и ускорения электронов в которых колоссальны и сравнимы с ускорениями частиц в ядерных процессах. Ведь формула расчета магнитного поля кругового тока применима и для расчета магнитного поля, создаваемого при движении электрона вокруг ядра атома в планетарной модели. Так, уже для атома водорода с радиусом первой орбиты r{ = Am0ti2/(mZe2) = 0,0529 им и скоростью движения электрона по орбите v = Ze2/(Ans0fi) =2,19- 10ь м/с центростремительное ускорение равно

При этом для тяжелых атомов за счет куба зарядового числа Z3 ускорение электронов на орбите может быть на несколько порядков выше.

Тем не менее колоссальное ускорение неинерциальной системы и прочие ускорения, на 20—30 порядков превышающие g, нисколько не мешают работать преобразованиям Лоренца.

Существенно, что при этом роль тормозного излучения может проявляться только на верхнем пределе таких ускорений. Покажем это, оценив максимальное ускорение (при лобовом ударе) при слабом тормозном излучении. Например, в слаборелятивистской электронно-лучевой трубке (с энергией электронов Е = 30 кэВ) тормозное излучение невелико, но уже начинает ощущаться приборами. При лобовом ударе Е = kZe2/r, откуда можно найти расстояние наибольшего сближения частиц г. А ускорение выразим через силу Кулона на этом расстоянии:

Здесь среднее зарядовое число люминофора, в котором тормозятся электроны, принято равным Z = 20.

Проведенный анализ позволяет предположить, что закон Кулона и преобразования Лоренца работают в неинерциальных системах, движущихся с ускорениями до Ю20— Ю30 м/с2.

Следующий вывод. Не секрет, что многие достаточно известные ученые выражают сомнение в справедливости релятивистской механики вследствие экзотичности. Но анализируемые выше связи показывают, что сомнение в справедливости релятивистской механики эквивалентно сомнению в справедливости магнетизма, который неплохо экспериментально изучен па протяжении столетий. Более того, для проверки принципов и пределов применимости релятивистской механики совсем не обязательно разгонять и исследовать тела при скоростях, сравнимых со скоростью света. Достаточно лишь провести современные аккуратные и относительно несложные эксперименты по изучению магнитной силы. Очевидно, что такие эксперименты могут в кратчайшие сроки уточнить принципы и пределы применимости релятивистской механики.

Еще один вывод касается монополя Дирака (магнитного заряда), существование которого предполагалось, исходя из относительной симметрии и эквивалентности электрического и магнитного полей в уравнениях Максвелла. Однако электродинамика как продукт силы Кулона и преобразований Лоренца однозначно утверждает, что никакой эквивалентности нет. Более того, и магнитного поля фактически нет, а есть лишь релятивистская поправка к силе Кулона для движущихся электрических зарядов. Таким образом, электродинамические взаимодействия создаются электрическими зарядами, и никаких магнитных монополей нет и быть не может.

Значительная часть учебников по электродинамике прямо или косвенно провозглашает уравнения Максвелла аксиомой электродинамики. Однако аксиомой обычно называют простое и очевидное утверждение, не требующее доказательств, а уравнения Максвелла явно не такие. Помимо громоздкости, нефизичности, субъективности они еще и вызывают не слишком верные ассоциации (типа относительной симметрии и эквивалентности электрического и магнитного полей и монополя Дирака).

Нефизично и двойное векторное произведение в магнитной силе, которое по сути должно быть заменено на физичную разность двух скалярных произведений (22.49). Даже простое векторное произведение не слишком наглядно, поскольку человек по опыту интуитивно понимает, что взаимодействие между материальными точками обычно идет по прямой, соединяющей эти точки, а не по перпендикуляру. Еще менее наглядно двойное векторное произведение. Впрочем, перпендикуляр к перпендикуляру можно трактовать гораздо проще с помощью физичной формулировки релятивистского закона Кулона (22.49). Ведь две составляющие релятивистской силы Кулона направлены, как и положено, вдоль прямой, соединяющей заряды. И лишь третья составляющая дает поправку вдоль направления движения заряда, связанную с релятивистским изменением свойств пространства при движении.

Полуэмпирика Ампера была хороша для XIX в., однако после создания релятивистской механики устарела.

Проблемы можно снять, если в качестве физичной аксиомы электродинамики выбрать закон Кулона (следующий из трехмерности евклидова пространства), уточняемый преобразованиями Лоренца (следующими из четырехмерного псевдоевклидова пространства). Такую аксиоматику во второй половине XX в. начали развивать классики (Р. Фейнман, Э. Пар- селл, И. В. Савельев и др.). В начале XXI в. по ряду причин эти работы замедлились, но требуют продолжения.

Помимо ключевой формулы взаимодействия движущихся зарядов внедрение физичной аксиоматики электродинамики требует детального рассмотрения еще пяти задач взаимодействия характерных электродинамических структур. Помимо заряда речь идет о прямом и круговом токе. Кроме расчета сил при необходимости нужен и расчет моментов сил. Существенно, что изложенный подход к классической электродинамике предполагает, что описание микротоков магнита не отличается от описания макротоков.

При этом круговой ток, являющийся характерным для микротоков, позволяет дать физичное описание постоянного магнита.

В заключение стоит подчеркнуть, что релятивистская механика и электродинамика сохраняют работоспособность в огромном интервале изменения параметра малости в тридцать порядков — далеко не каждая теория может этим похвастаться. И вообще, электродинамика — пожалуй, единственный раздел физики, в котором малые параметры имеют малость не в несколько порядков, а в несколько десятков порядков. Этим определяются и красота, и сложность электродинамики. Важное следствие научной аксиоматики электродинамики касается высокой работоспособности статистической физики. Ведь с точки зрения статистической физики дрейфовое движение электронов со скоростью 10 5 м/с почти неразличимо на фоне хаотического теплового движения тех же электронов со скоростью более 105м/с. Тем не менее это дрейфовое движение дает четко фиксируемый физический эффект — магнетизм.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >