Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла в интегральной форме

Из опыта и частных законов очевидно, что магнитное поле связано с электрическим, электрическое поле — с магнитным и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате — вместо отдельных электрического и магнитного полей — в электродинамике традиционно принято говорить о едином электромагнитном поле[1]. Наиболее полно и в обобщенном виде сегодня связи электрического и магнитного полей представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных еще в 1861—1865 гг. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассматриваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.

Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.

Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (19.11) для электрического поля: (j")DndS = ?//(.

i

Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (22.30) для магнитного поля, опирающаяся па отсутствие магнитных зарядов: фBndS = 0.

Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной ин- dN

дукции (24.4): ?, = - Максвелл предположил, что любое переменное

магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС индукции ?, определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрического поля §B,dl. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид

Четвертое уравнение Максвелла — это обобщение теоремы о циркуляции (22.18) вектора напряженности магнитного поля: <§11,(11 = ?/,. Максвелл

i

предположил, что если переменное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрического поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть — помимо токов проводимости — иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.

Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному переменным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу, в непроводящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электрическое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:

Здесь использовано то, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответствии с формулой (18.2) равен D - а. Сравнивая формулу (25.2) со связью плотности тока и силы тока /см = fjCMdS, получим для плотности тока смещения выражение

В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения, ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения, и из формулы (25.2) имеем

Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости JjdS

ток смещения — D dS, получим четвертое уравнение Максвелла dtJ

Таким образом, окончательно система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид

В векторном виде эту систему можно записать следующим образом:

Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволяет решать самые разные, в том числе сложные, задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью г, магнитной проницаемостью р и проводимостью у. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектрическая и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегнетоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид

В свою очередь, проводимость дает связь плотности тока с напряженностью поля с помощью закон Ома в дифференциальной форме

Семь записанных выше уравнений (25.7)—(25.9) составляют основу электродинамики.

  • [1] С учетом того что, как объяснялось выше, магнитная сила является релятивистской поправкой к силе Кулона, правильней было бы говорить о релятивистском электрическом поле. Но здесь мы не будем учитывать такие тонкости.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >