Следствия из уравнений Максвелла

Рассмотрим теперь следствия из уравнений Максвелла. К этим следствиям в первую очередь можно отнести закон сохранения электрического заряда, закон сохранения электромагнитной энергии (теорема Пойнтинга) и волновое уравнение.

В системе уравнений Максвелла в неявном виде содержится закон сохранения электрического заряда. Действительно, найдем дивергенцию от

й - dD

правой и левой частей уравнения Максвелла гош = ; -I——:

at

Воспользуемся известным в теории поля математическим тождеством (его можно проверить непосредственным вычислением), справедливым для любого вектора:

Поскольку операция вычисления дивергенции сводится к дифференцированию по пространственным координатам, то порядок вычисления производной по времени и вычисления дивергенции в формуле (25.23) можно поменять местами:

Далее воспользуемся уравнением Максвелла divD = р и получим закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме:

Смысл полученного уравнения в том, что увеличение плотности заряда в точке обеспечивается притоком заряда из соседних точек пространства (по физическому смыслу дивергенции как потока вектора из точки). При этом закон сохранения электрического заряда не содержит источников заряда. Отсюда следует, что электрический заряд не может возникнуть и не может исчезнуть.

Возьмем теперь интеграл от соотношения (25.26) по объему, воспользовавшись при этом для плотности тока j теоремой Остроградского — Гаусса

(j>JdS = divJdV):

Переписав это уравнение в более привычной форме записи, получим закон сохранения электрического заряда в интегральной форме:

Физический смысл полученного интегрального выражения прост: в фиксированном объеме величина электрического заряда Q может измениться только за счет тока / через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.

Выведем теперь теорему Пойнтинга, определяющую баланс энергии электромагнитного поля в пространстве и времени. Если одно из уравне-

Jd

ний Максвелла rot Е = —— скалярно умножить на вектор Я, а другое -

at

- * dD -

rot// = 7 -*—:--на векторе и из первого уравнения вычесть второе, полу-

dt

чим

Непосредственным вычислением можно проверить, что левую часть уравнения можно выразить через дивергенцию от векторного произведения:

Кроме того, удобно сгруппировать два первых члена правой части с помощью очевидного соотношения

Заметим, что в скобках представлена сумма объемных плотностей энер- ED НВ ^

гии электрического поля — и магнитного поля —. Эта сумма, очевидно, дает объемную плотность энергии электромагнитного поля:

После таких преобразований получим из формулы (25.9) теорему Пойнтинга:

Суть ее сводится к закону сохранения энергии для электромагнитного ноля. Первый член в правой части теоремы (но физическому смыслу дивергенции как потока вектора из точки) определяет приток энергии поля в точку извне. При этом вектор потока электромагнитной энергии

называют вектором Умова — Пойнтинга. Если проинтегрировать соотношение (25.33) по некоему объему, воспользовавшись для преобразования

дивергенции теоремой Остроградского — Гаусса (25.10) )PdS = JdivPdV, то получим еще одно наглядное интегральное соотношение

Таким образом, изменение энергии электромагнитного поля в объеме определяется балансом притока энергии извне и диссипации энергии внутри объема.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >