Вероятность местонахождения микрочастицы. Волновая функция

Из опытов по получению дифракционной картины в оптике известно, что интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. В то же время интенсивность определяется числом фотонов, падающих в данную точку дифракционной картины. Поэтому число фотонов в каждой точке картины пропорционально квадрату амплитуды волны. Если же число фотонов невелико (например, падает один фотон), то квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в данную точку.

Немецкий физик М. Борн в 1926 г. по аналогии предположил, что и для микрочастиц интенсивность волны де Бройля в любой точке пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этой точке. Иными словами, волна де Бройля определяет вероятность обнаружения (локализации) частицы в данной точке в данное время. Это утверждение существенно изменило представление о нашем мире. В классической физике, если задать силы, действующие на тело, и начальные условия, то можно определить положение тела в любой последующий момент времени. В соответствии со сформулированной 200 лет назад П. Лапласом классической концепцией абсолютного детерминизма будущее мира предопределено на все времена. Однако в квантовой физике согласно М. Борну детерминизм отсутствует. Даже будущее положение одного электрона можно предсказать лишь с какой-то далеко не стопроцентной вероятностью — не говоря уж о будущем всего мира.

В оптике мы задавали вероятность нахождения фотона в данной точке квадратом амплитуды световой волны. Если задавать плоскую одномерную волну микрочастицы комплексной функцией /(х, t) = Лехр[(-г(со? - kx)], то являющаяся действительной функцией вероятность пропорциональна квадрату ее модуля:

где |/* — функция, комплексно сопряженная с р.

В общем случае функция является трехмерной: / = /(х, у, г, t).

Функция v|t(x, у, г, t) является основным носителем информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастицы и играет большую роль в квантовой физике, ее называют амплитудой вероятности, или волновой функцией, или vj/-функцией.

Таким образом, описание микрочастицы с помощью волновой функции носит статистический, вероятностный характер, причем квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dW нахождения частицы в момент времени t в области dV с координатами от х до х + dx, от у до у + dy, от z до z + dz:

где dV = dxdydz.

Связь волновой функции с вероятностью можно переписать в другом виде:

откуда очевидно, что квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности — определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, yf z. Таким образом, физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля, которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в конечном объеме V находится интегрированием соотношения (33.23) и равна

Вероятность нахождения частицы во всем пространстве равна единице, откуда следует условие нормировки волновой функции:

где интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству (по координатам ху уу z от -оо до оо). Особо выделим плоскую волну де Бройля, для которой вероятность обнаружения частицы в любом месте одинакова, что делает нормировку (33.26) невозможной. Впрочем, отсутствие нормировки в этом случае обычно проблем не создает. А невозможность нормировки объясняется невозможностью реально создать плоскую волну, простирающуюся от -оо до оо.

Отметим теперь естественные ограничения на волновые функции, связанные в первую очередь с ограничениями на вероятность.

Обычно функция является конечной (и интеграл, характеризующий вероятность, не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Поскольку плотность потока вероятности выражается через градиент, то и первые производные волновой функции должны быть непрерывны. Еще одно свойство волновой функции можно связать с видом уравнения Шредингера, описывающего поведение волновой функции (см. ниже): произведение f/vp (где U — потенциал) должно быть конечным, поэтому если U = оо, то у = 0.

Не вызывает удивления, что волновая функция, как и многие другие функции в физике, непрерывна вместе со своими производными. И именно это важное условие (наряду с условием ограниченности волновой функции) может вести к квантованию.

Важным свойством волновой функции является принцип суперпозиции волновых функций волны де Бройля: если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями vj/,, /2, ..., /я, то она также может находиться и в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций:

где Сту т = 1, 2, 3,..., п, — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (квадратов модулей волновых функций) отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей. Принцип суперпозиции волновых функций лежит в основе эффектных решений ряда ключевых задач квантовой физики.

Будучи амплитудой вероятности, волновая функция позволяет статистически вычислять средние значения физических величин, характеризующих микрочастицу. Например, среднее расстояние электрона от ядра в соответствии с теорией вероятности равно

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >