Решение уравнения Шредингера для свободной частицы

Рассмотрим теперь обратную задачу и проанализируем стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (U = 0), движущейся вдоль оси х. В одномерном случае оператор Лапласа сводится к второй производной но координате, так что из формулы (34.13) имеем

Известным решением такого уравнения (это можно проверить прямой подстановкой) является функция у(х) = Aexp(ikx), где Л и к являются константами, причем собственные значения энергии

E = ft2k2/(2m) (34.29)

определяются константой к. Спектр энергий является в данном случае непрерывным. Функция

представляет собой только координатную часть волновой функции (х, t) (34.10), которая должна быть дополнена зависящей от времени составляю-

. С учетом этого получаем известную нам одномерную моно-

щей ехр --?/ .

I h

хроматическую волну де Бройля (34.1) с волновой функцией |/(.r ,t) =

i

= Лехр[ —/(cot - kx)] = Л exp ~(px - Et) .

n

Ей соответствует нс зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

которая одинакова в люоой точке пространства.

Контрольные вопросы и задания

  • 34.1. Выведите уравнение Шредингера для свободной частицы.
  • 34.2. Выведите общее уравнение Шредингера.
  • 34.3. Выведите стационарное уравнение Шредингера.
  • 34.4. Выведите стационарное уравнение Шредингера в операторной форме.
  • 34.5. Выведите формулы для операторов Гамильтона и импульса.
  • 34.6. Сформулируйте теорему Эренфеста и ее следствия.
  • 34.7. Получите решение уравнения Шредингера для свободной частицы.

с решением

34.1. Найдем действительную часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы.

Решение

Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы (11 = 0), движу-

щсйся вдоль оси х, имеет вид — + —— Еу = 0.

ах1 й2

Решением такого уравнения является комплексная функция j/(.r) = Acxp(ikx). В соответствии с описывающей комплексные числа формулой Эйлера (33.6) действительная часть решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы равна 1л(х) = Л cos(kx).

для самостоятельного решения

34.2. Найдите плотность вероятности обнаружения свободной частицы с волно-

i

вой функцией f(x ,1) = Л exp - (рх - El) в точке пространства с координатой х = а

п

в момент времени t = Ь.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >