Исходная классическая теория гармонического осциллятора

Перейдем теперь к более детальному анализу теории гармонического осциллятора, вспомнив сначала классическую постановку задачи. Гармоническим осциллятором в классической физике называется система, описываемая гамильтонианом

Первый член гамильтониана определяет кинетическую энергию, второй — потенциальную. Вид потенциальной энергии выбран так, что он описывает и задачу о колебаниях грузика на пружинке, когда

и другие колебательные системы — при соответствующем выборе параметров. Среди таких систем математический и физический маятники, а также колебания заряда в колебательном контуре.

В случае, когда механическая энергия сохраняется и гамильтониан не зависит от времени, дифференцирование его по времени дает

откуда окончательно получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Общее решение этого уравнения в соответствии с теорией дифференциальных уравнений запишем в виде

где Л — амплитуда; а — начальная фаза. Решение описывает гармонические колебания частицы около положения равновесия х = 0. Энергия осциллятора периодически переходит из потенциальной в кинетическую, так что определить ее можно, например, по максимальной потенциальной энергии при cot + а = 0:

Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна

Рис. 36.2

В такой параболической потенциальной яме (рис. 36.2) с точки зрения классической физики частица не может выйти за пределы области [-Л, +Л], поскольку такой выход означал бы, что ее кинетическая энергия отрицательна. При этом вероятность обнаружения частицы минимальна в центре ямы, где ее скорость максимальна. В свою очередь, вероятность обнаружения частицы максимальна при х = ±Л, где ее скорость равна нулю.

Классическая теория гармонического осциллятора хорошо описывает колебания макроскопического грузика на реальной пружинке, математического и физического маятников, а также колебания заряда в колебательном контуре. Однако в задачах о колебаниях микрочастиц она часто демонстрирует существенные ошибки.

Среди таких задач — колебания атомов в молекулах и кристаллических решетках, колебания поверхности атомных ядер и т.д. Эти важнейшие современные задачи правильно описывает квантовая теория гармонического осциллятора.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >