Уравнение Шредингера для кристаллов. Теорема Блоха и туннелирование

Задачу о движении электронов в пространственном периодическом поле кристалла существенно упрощает сама периодичность поля. Действительно, упорядоченное расположение ядер кристаллической решетки создает таким же образом упорядоченное электрическое поле. Использование адиабатного и одноэлектронного приближений, а также приближения самосогласованного ноля приводит к стационарному уравнению Шредингера для задачи движения электрона в пространственном периодическом потенциальном поле. В одномерном случае уравнение Шредингера для кристаллов имеет вид

Здесь потенциальная энергия имеет периодичность постоянной решетки кристалла с:

Предположим, что электроны относительно свободно перемещаются по кристаллу. Свободному перемещению соответствует плоская волна. Однако периодически меняющаяся составляющая потенциальной энергии несколько затрудняет движение электронов. Поэтому для потенциальной энергии такого вида логично искать волновую функцию в виде произведения функции плоской волны на функцию с периодичностью потенциала. Это предположение строго доказывается в следующей теореме.

Теорема Блоха: собственные функции стационарного уравнения Шре- дингера с периодически меняющейся потенциальной энергией имеют вид произведения функции плоской волны на функцию с периодичностью потенциальной энергии:

Елоховский множитель и{х), как и потенциальная энергия, имеет периодичность постоянной решетки кристалла и показывает, что вероятность нахождения электрона повторяется от ячейки к ячейке кристалла.

В столь сложной задаче удобно рассматривать два предельных случая взаимодействия электронов с кристаллической решеткой.

Приближение слабой связи (приближение почти свободных электронов) рассматривает валентные электроны в кристалле как почти свободные частицы, движение которых слегка возмущено полем кристаллической решетки. Это приближение соответствует тому, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с кристаллической решеткой меньше кинетической энергии электрона. Приближение слабой связи неплохо описывает поведение валентных электронов на s- и ^-уровнях, в металлах и полупроводниках.

Приближение сильной связи предполагает, что состояние валентного электрона в кристалле близко к состоянию электрона в изолированном атоме. Приближение сильной связи применимо, когда потенциальная энергия взаимодействия электрона с кристаллической решеткой больше его кинетической энергии. В такой ситуации значительную роль в переносе электронов играет туннелирование. Приближение сильной связи описывает поведение электронов на d?-, е- и /-уровнях, свойства диэлектриков и полупроводников.

Существенно, что оба приближения приводят к обоснованию существования разрешенных и запрещенных энергетических зон в кристаллах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >