Принципы принятия решений для риск- менеджмента проверкой статистических гипотез

Среди задач, решаемых методом проверки статистических гипотез, наибольший интерес в риск-менеджменте представляет сравнение математических ожиданий тх и дисперсий Dx = <зх числа X отказов или происшествий, характеризующих безопасность функционирования разных ОПО либо одного и того же подобного объекта, но в различные моменты времени. Потребность в этом возникает, например, при необходимости:

  • а) повысить достоверность оценки соответствующего риска за счет увеличения объема выборочных данных (х,, х2,..., хп1) путем их объединения с результатами {yvy2, ...,уп2) другого наблюдения;
  • б) убедиться в эффективности уже реализованных мероприятий, направленных на снижение какого-либо параметра риска отказа или риска происшествия.

Проиллюстрируем возможность принятия рациональных решений в подобных ситуациях, основываясь на приведенных выше сведениях. Сделаем это на примере двух задач риск-менеджмента, использующих следующую общую информацию: 1) в качестве нулевой гипотезы Н0 — предположение о равенстве между собой двух сравниваемых математических ожиданий: Д = тх1- тх2 = 0, а альтернативной НА гипотезы — Д Ф 0; 2) погрешность рационального выбора определяется

лишь вероятностью отклонения нулевой гипотезы (ошибкой первого рода а, равной 0,05); 3) оба решения основываются на данных, допустим, о числе отказов ответственных элементов ОТУ и касаются того, как истолковывать расхождение в оценках какого-либо их параметра, рассчитанных по двум разным выборкам. А вот отличием каждого примера служит разный объем исходных данных и их происхождение.

Пример 1

Первая задача касается рационального решения по выборочным данным большого объема. Если точнее, то требуется сравнить ущерб, вызванный отказами тех элементов ОТУ, которые были зарегистрированы на двух сходных ОПО в последние 3 года. При этом считается, что данный ущерб вызван приостановкой функционирования этих объектов, а длительность простоя зависела от эффективности системы их (массового) технического обслуживания и ремонта. Предположим также, что результаты обработки информации, полученной на данных объектах по формулам (2.4), приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Исходные данные для иллюстративного примера 1

Эмпирические данные и результаты их обработки

Объект № 1

Объект № 2

Число зарегистрированных отказов элементов ОТУ

п1 = 36

п2= 32

Оценка среднего времени устранения одного отказа, ч

х1 = 16,1

х2 = 14,3

Оценка стандартного отклонения этого случайного времени

а, = 4,3

62 = 5,1

Для решения данного иллюстративного примера целесообразно использовать пятишаговый алгоритм проверки статистических гипотез. Однако учитывая, что его первые два шага (уточнение содержания гипотез Н0, НА и выбор ошибки а) уже реализованы, ниже приведем сведения по выполнению лишь оставшихся трех (3—5) этапов основанной на нем процедуры принятия рационального решения.

3. Большой объем выборки (л > 30) дает основание принять допущение о равенстве двух выборочных оценок стандартного отклонения их действительным значениям (Oj = ох1 иа2 = а^), что позволяет использовать следующую нормально распределенную статистику:

  • 4. Критическое значение za этой статистики, измеряемое долей стандартного отклонения случайной суммы (п} + п2) зарегистрированных отказов — знаменателя последней формулы, было определено с помощью таблицы стандартной нормально распределенной случайной величины и оказалось равным 1,645 (для а = 0,05).
  • 5. Что касается верхнего доверительного предела для статистики (2.6), то он будет равен

Таким образом, превышение величиной С2 разницы между сравниваемыми оценками математических ожиданий 1 - х2 = 16,1 - 14,3 = 1,8) указывает, что тяжесть последствий отказов ответственных элементов ОТУ, а значит, и обусловленный этим техногенный риск на исследуемых ОПО можно считать одинаковыми. Иначе говоря, если судить по зарегистрированным результатам и полученным на их основе оценкам, то их малозначимое отличие (возможная ошибка не превышает 5%) можно объяснить лишь случайными факторами.

Пример 2

Вторая задача риск-менеджмента связана уже с принятием решения по малым объемам выборочных данных, полученных на одном и том же ОПО до и после модернизации его технологического оборудования (доработки конструкции ответственных элементов ОТУ). Предположим также, что искомое рациональное решение связано с оценкой эффекта от данного мероприятия на основе сведений по отказам и результатам их обработки, приведенным в табл. 2.4.

Таблица 2.4. Исходные данные иллюстративного примера 2

Эмпирические данные и результаты их обработки

До модернизации

После

модернизации

Число зарегистрированных отказов оборудования

о

см

II

сГ

п2 = 10

Оценка среднего времени устранения последствий одного отказа, ч

х{ = 18,1

i2=14,3

Оценка стандартного отклонения этого случайного времени, ч

CTj = 4,1

= 3,8

Сопоставление приведенных здесь данных указывает на заметное снижение времени простоев ОПО вследствие необходимости устранения одного отказа их ОТУ. Однако для того чтобы разобраться с тем, насколько это закономерно или случайно, проведем проверку приведенных выше гипотез тем же способом, который реализован в предыдущем примере.

3. Так как малый объем выборки (п < 30) лишает основания считать выборочные оценки &J, а2 действительными значениями стандартных отклонений аг1 и то вместо предыдущей статистики (2.6) здесь должно использоваться уже следующее выражение:

представляющее случайную величину, подчиненную распределению Стьюдента.

  • 4. Критическое значение ta выбранной статистики, опять же измеряемое долями стандартного отклонения случайной суммы (п1 + п2) зарегистрированных отказов, определяется уже с помощью соответствующего распределения (см. таблицу Г.5 из приложения к этой книге). При этом для п1 + и2=30 и а=0,05 оказывается, что данная величина равна 1,701.
  • 5. Согласно [14] нижний доверительный предел этой статистики равен

Так как значение этой величины по модулю заметно меньше разницы между сравниваемыми оценками математических ожиданий: хг - х2 = = 14,3 - 18,1 = -3,8, то логичен следующий вывод: тяжесть последствий отказов модернизированного технологического оборудования на исследуемом ОПО действительно снизилась, т.е. соответствующее мероприятие дало положительный эффект.

В завершение демонстрации принятия рациональных решений о равенстве двух числовых характеристик сделаем ряд дополнительных замечаний, касающихся перспективности для риск-менеджмента рассматриваемого здесь метода проверки статистических гипотез.

  • 1. Прежде всего подчеркнем чрезвычайно широкие возможности обоснования рациональных решений подобным способом. Ведь принятие статистических гипотез может расцениваться как акт познания, а их априорные вероятности — как предубеждения или мера доверия к существующим исходным идеям, моделям и суждениям, что чрезвычайно важно.
  • 2. Более того, открывается возможность заметного повышения достоверности принимаемых решений по мере накопления первичной информации и повышения числа п испытаний, характеризуемых одними и теми же ошибками первого (а) и второго (р) рода.

Дело в том, что после многократной обработки имеющихся сведений ошибки а(п) и (3(п) окончательного решения определяются уже следующими выражениями:

3. Данный метод применим также для проверки гипотез относительно одного среднего значения, что эквивалентно, например, интервальному оцениванию математического ожидания количества отказов или техногенных происшествий. Однако в этом случае уже применяются более простые выражения для статистик и двусторонних доверительных интервалов:

_ о* „ ох.

вместо (2.6)z = , , а для пределов Сг= тх-zv. C2=mx+zy.

ах/п V п '1 п

* х-тх _ о б

вместо (2.7) t =—-р-, а для пределов Q = mx-t„—j=, C2 = mx + t.—j=,

О / sin ' sin sjn

где Cj, С2 — соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала, накрывающего с вероятностью у значения оцениваемого математического ожидания.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >