ОСНОВЫ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Понятие нечетких множеств

Рассмотрим основные понятия нечетких систем, привлекая только самые основные математические понятия. Среди многочисленных работ, посвященных нечетким системам [4-12, 26] (приведены только некоторые основные работы на русском языке) зачастую нет единой терминологии. За небольшими исключениями используем терминологию, принятую в [12].

В классической теории множеств некоторый элемент* или принадлежит некоторому множеству ,4 или не принадлежит множеству А. Принадлежность множеству можно описать с помощью характеристической функции Хл^х), которая принимает два значения

Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать - принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет [12]. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?» Можно этот вопрос задать и по-другому: «Обладают или нет его элементы некоторым характеристическим свойством, которое может быть использовано для задания этого нечеткого множества?».

Для определения нечеткого множества используется обобщение понятия характеристической функции - функция принадлежности /л_л{х)_у показывающая степень принадлежности элемента * нечеткому множеству А. При этом возможны три случая:

И_А (^х) = 1 означает полную принадлежность элемента х нечеткому множеству А;

ц_А(х) = 0 означает, что элемент х не принадлежит нечеткому множеству А;

О < //_л (jc) < 1 означает, астичную принадлежность элемента X нечеткому множеству А.

Тогда нечеткое множество может быть определено как множество упорядоченных пар А = |дг, /л_А (jt)J. Нечеткие множества с конечным количеством элементов часто записываются в виде

При этом горизонтальная черта не является знаком деления, а приписывает конкретным элементам определенных степеней принадлежности. Знак «+» означает теоретико-множественное объединение элементов.

Если элементы нечеткого множества принадлежат пространству X с бесконечным количеством элементов, то нечеткое множество иногда символически записывают в виде

Нечеткость часто путают с вероятностью. Среди неопределенности выделяют стохастическую и лингвистическую неопределенности. Стохастическая неопределенность существуют только для точно описанных событий, которые в будущем могут произойти, а могут не произойти. Когда событие произошло, понятие вероятности его совершения теряет смысл.

Лексическая неопределенность означает неопределенность в описании события независимо от времени их рассмотрения. Например, имеется нечеткое множество «Рост человека» со значениями «низкий», «средний», «высокий». Функция принадлежности значения «высокий», равная, например, 0,25 не означает, что с вероятностью 0,25 в большой выборке будут встречаться высокие люди. Функция принадлежности означает лишь субъективную оценку степени принадлежности понятия «высокий» множеству «Рост человека».

Введем некоторые понятия, связанные с нечеткими множествами.

Пустым нечетким множеством 0 называется нечеткое множество, нс содержащее ни одного элемента. Формально функция принадлежности пустого множества равна нулю для всех его элементов.

Универсум (универсальное множество) - обычное множество, содержащее в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально функция принадлежности универсума равно единице для всех элементов множества. Будем обозначать универсум через X.

Носителем нечеткого множества А называется четкое подмножество области определения X, содержащее все элементы, для которых функции принадлежности нечеткого множества А отличны от нуля 5(^) = supp(^) = |x: /л_А[х)> 0, хеХ}.

Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. Нечеткое множество, носитель которого не является конечным множеством, называется бесконечным.

ОСНОВЫ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Понятие нечетких множеств

Использование представлений теории нечетких множеств

Оценка стоимости минерально-сырьевых ресурсов на основе теории нечетких множеств

Использование представлений теории нечетких множеств

Использование представлений теории нечетких множеств

Оценка стоимости минерально-сырьевых ресурсов на основе теории нечетких множеств

Использование представлений теории нечетких множеств