Основные характеристики нечетких множеств

Рассмотрев понятие функции принадлежности, предложим знакомство с основными характеристиками нечетких множеств [12, 14].

Множество а - уровня - это обобщение понятия носителя нечеткого множества. Это обычное множество А_и, удовлетворяющее условию А_а = [х € X | ц_А (д-) > a j а, где а - некоторое действительное число из интервала [0,1] -

Высота нечеткого множества определяется с помощью точной верхней грани следующим образом h_A = sup(//, (х)).

дгеХ

Нечеткое множество называется нормальным, если максимальное значение его функции принадлежности равно 1 и при этом существуют элементы множества, функция принадлежности которых равна 1. Формально это означает, что для нормального нечеткого множества необходимо выполнение следующего условия: //Д*) = 1, (ЗхеХ).

Нечеткое множество называется субнормальным, максимальное значение его функции принадлежности меньше 1.

Унимодальное нечеткое множество. Нечеткое множество называется унимодальным (строго унимодальным), если его функция принадлежности ц_А (*)является унимодальной (строго унимодальной). Функция принадлежности //^ (х) называется унимодальной (строго унимодальной), если она унимодальная (строго унимодальна) па носителе соответствующего нечеткого множества.

Ядром нечеткого множества А называется обычное, элементы которого удовлетворяют условию:

Мощность (кардинальное число) дискретного нечеткого множества определяется как сумма функций принадлежности всех его элементов

где 5(Д) - носитель нечеткого множества.

Мощность непрерывного нечеткого множества вычисляется интегрированием функции принадлежности

Границы нечеткого множества называются такие элементы универсума, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1. Другими словами, границы нечеткого множества А_а включают те и только те элементы универсума

хеХ для которых выполняется условие: 0</л_А(*)< 1.

Точки перехода нечеткого множества. Элементы нечеткого множества у е А, для которых выполняется условие: //_/((х) = 0.5, называются точка перехода этого нечеткого множества.

Ближайшее четкое множество. Часто оказывается полезным понятие четкого множества А, ближайшего к нечеткому множеству А. Характеристическая функция такого множества может быть определена следующим выражением:

Для характеристики нечетких множеств используют также понятие выпуклости, которое ассоциируется с соответствующим графическим изображением функции принадлежности.

Выпуклое нечеткое множество. Нечеткое множество А_а={х,р_л(х)} с универсумом X называют выпуклым, если его функция принадлежности fJ_A (х) удовлетворяет следующему неравенству: /л_А{х) > min/л.,(/>)} для любых значений x₉a,bе X, при которых а<х<Ьё а Дэ .

Рис. 8 - Графики функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечеткого множества