Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами имеют три особенности [12]: во-первых, вес операции над нечеткими множествами являются обобщениями операций над классическими множествами. Так как возможны разные варианты обобщения, это приводит к различным вариантам операций над нечеткими множествами. Во-вторых, выполнение операций над нечеткими множествами возможно, когда нечеткие множествами определены на одном и том же универсуме. В-третьих, операции над нечеткими множествами сводятся к операциям над их функциями принадлежности. С учетом этих особенностей рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Подробно эти операции освещены в [4, 12, 14]. Следует отмстить, что не все аксиомы теории множеств выполняются для операций над нечеткими множествами [4, 14].

Пусть А и В нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X. Нечеткие множества А и В считаются равными, если их функции принадлежности принимают равные значения на всем универсуме ц_А (,y) = ju_B (х) /х е X.

Равенство нечетких множеств записывается как А - В.

Рис. 9 - Равенство нечетких множеств

Нечеткое множество А называется несобственным подмножеством нечеткого множества В (записывается как А^В), если ^v-^{v е} х.

Нечеткое множество А называется собственным подмножеством нечеткого множества В (записывается как AczB), если

/^ja(^x)^<Vb(^x) ^VxeX-

Операции объединения и пересечения нечетких множеств могут быть определены различными способами в зависимости от особенностей конкретных задач. Эти операции удобно описывать, пользуясь понятиями треугольной нормы и треугольной конормы [4, 12,14].

Треугольная норма (Т-норма, t-норма) - это функция, действующая на интервале [0, 1] и удовлетворяющая следующим аксиомам:

Треугольная конорма (Т-конорма, s-норма) - это функция, действующая на интервале [0, 1] и удовлетворяющая следующим аксиомам:

Эти две треугольные нормы отличаются только аксиомами ограниченности.

Простейшими примерами t-норм и s-норм являются следующие [5, 25, 27]:

В нечетком выводе используются также взвешенные t-нормы и s-нормы:

22

Возможно обобщение треугольных норм на случай нескольких переменных.

В общем виде пересечением нечётких множеств А и В, заданных на одном универсуме X, называется третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме, функция принадлежности которого определяется следующим образом

где Т— t-норма.

Различные реализации t-нормы приводят к различным реализациям операции пересечения нечетких множеств [22, 25].

Операция min-пересечения, или л-пересечения Ап5определяется функцией принадлежности (рис. 10):

Операция алгебраического пересечения, или prod-пересече- ния А*В определяется функцией принадлежности

Результат операции пересечения двух бесконечных нечетких множеств удобно изобразить графически (рис. 10).

Рис. 10-Графическое представление операции min-пересечения треугольных и П-образных функций принадлежности

Операция граничного пересечения А°В определяется функцией принадлежности //^_fl(jr) = rnax{//_l(x) + //_B(jr)-l, 0} УдеХ.

Операция драстического пересечения (от англ, drastic - решительный, радикальный) ААВ определяется функцией принадлежности

Операция пересечения Ягера (Yager R.) [4] определяется функцией принадлежности

В общем виде объединением нечётких множеств А и В, заданных на одном универсуме X, называется третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме, функция принадлежности которого определяется следующим образом Вс (д) = /i_AkjB (д) = 5'(// _| (д), //„ (д)), где S - s-норма (t-конорма).

Различные реализации s-нормы приводят к различным реализациям операции пересечения нечетких множеств [12, 14].

Операция max-объединения, или v-объединения AvjВ определяется функцией принадлежности

Операция алгебраического объединения А + В определяется функцией принадлежности

Результат операции объединения двух бесконечных нечетких множеств удобно изобразить графически (рис. 11).

Рис. 11 - Графическое представление операции max-объединения для треугольных и П-образных функций принадлежности

Операция граничного объединения А © В определяется функцией принадлежности: /г_/|0в(т) = т1п|//_/)(.т)-//_й(д:), 1} V,ygX.

Операция драстического объединения /IV В определяется функцией принадлежности.

Операция объединения Ягера определяется функцией принадлежности

Разностью нечётких множеств А и В, заданных на одном универсуме X, называется третье нечеткое множество С = А В, заданное па этом же универсуме, функция принадлежности которого определяется следующим образом

Операция разности не является коммутативной, то есть А В * В А. По аналогии с обычными множествами иногда применяют операцию симметричной разности С = А - В, функция принадлежности которого определяется следующим образом

Вс (*)=в,-в М=в_А (*) - В в (*)| ^%?Х.

Результат операции разности двух бесконечных нечетких множеств удобно изобразить графически (рис. 12).

Рис. 12 - Графическое представление операции разности и симметричной разности для треугольных функций принадлежности

Операция дополнения(инверсии) нечеткого множества А (обозначается через А) определяется функцией принадлежности Вс(х) = вА^х) = ¹-Вл(х) Vx€ X.

Приведенную операцию называют еще инверсией Заде.

Рис. 13 - Графическое представление операции дополнение для П-образных функций принадлежности

Известны также инверсия Ягера р_с (*) ⁼ (1 “ ^хР)^р * Р > ⁰ и

1 — X

инверсия Сугено р>-1.

Если Я - произвольное нечеткое множество, заданное на универсуме X, а - положительное число, причем a-h_A< 1, где 1г₄ - высота множества, то результат умножения нечеткого множества А на число а определяется как нечеткое множество С = а А, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности кото- рого равна Ис{^х) = .(*) = ^аИ, (*) Vxе X.

Результатом операции возведения нечеткого множества А, заданного на универсуме X, в степень к, где к - положительное действительное число, является нечеткое множество С, функция принадлежности которого определяется по формуле: Ис{^х)-{Рл{^х)) V*eX. Операцию возведения в степень обозначают как А^к.

Для создания нечетких множеств, являющихся производными от некоторых ранее заданных, используются лингвистические модификаторы. Например, если имеется нечеткое множество «холодный», то на его основе с помощью лингвистических модификаторов можно получить множества «очень холодный» или «более или менее холодный».

Существуют три основных лингвистических модификатора (оператора):

• - оператор концентрирования;
• - оператор растяжения;
• - оператор повышения/понижения контрастности.

Операция концентрирования, примененная к нечеткому множеству Л, даст новое нечеткое множество С, функция принадлежности которого определяется формулой:

Операция концентрирования обозначается через С = соп(Л) - от англ, concentration - концентрирование.

Операция растяжения, обозначаемая через сШ(Л) (от англ.

dilatation - растяжение), дает в результате нечеткое множество С, функция принадлежности которого определяется формулой

Ас (*) = A_d,M) М = (А, (*)Г ^{s х} •

Операция концентрирования приводит к уменьшению степени принадлежности нечеткого множества, а операция растяжения - к увеличению степени принадлежности.

Результат действия операторов концентрирования и растяжения на треугольную функцию принадлежности представлен на рис. 14.

Рис. 14 - Графическое представление действия операции концентрирования (а) и растяжения (б) для треугольной функции принадлежности

Границы между нечеткими множествами являются размытыми. Оператор повышения контрастности (int - от англ, intensification - усиление, повышение) приводит нечеткие множества к более четкому виду. Изменяя углы наклона ветвей функции принадлежности, он позволяет более четко выделять границы перехода от одного нечеткого множества к другому. Операция повышения контрастности, примененная к нечеткому множеству А, дает в результате нечеткое множество С, функция принадлежности которого определяется формулой

где п - целое число, обычно п = 2.

При стремлении п к бесконечности функция принадлежности принимает прямоугольную форму, а нечеткое множество превращается в обычное четкое множество с четкими границами.

Операция понижения контрастности (обозначается Ыг - от англ, blurring - размывание), примененная к нечеткому множеству А, дает в результате нечеткое множество С, функция принадлежности которого определяется формулой

где п - целое число, обычно п = 2.

При стремлении п к бесконечности нечеткое множество преобразуется в точку, которая совпадает со средним значением ядра нечеткого множества (с модальным значением нечеткого множества).

Графическое представление действия операторов повышения и понижения контрастности на функцию принадлежности представлен на рис. 15.

Рис. 15 Графическое представление действия операции повышения (а) и понижения (б) контрастности для т = 2