Нечеткие отношения

Рассмотренные нечеткие множества имели в качестве области определения одномерное пространство. В нечетких системах зачастую областью определения нечетких множеств являются многомерные пространства. При этом особый интерес представляют множества с двумерной областью определения. Нечеткие множества на много мерных областях определения задаются как нечеткие отношения. Нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) X_h Х₂,..., Х_к9 называется нечеткое множество R, определенное на декартовом произведении

х Х₂ х ... х Х_к. Другими словами, нечеткое отношение - это мно- жсство пар /? = {{*,,*,,...,**),_Mr((*„дг₂,..**})}, где (*„*₂,..х_к) - кортеж из к элементов, каждый из которых выбирается из своего универсума: дг, е X,, лг₂ е Х,,...,л* € Х_к, •••>**)) _ функция

принадлежности нечеткого отношения, которая определяется как отображение //*:е X,, х₂ € Х₂,...,x_t е X* ->• [0,1]. Напомним, что декартовым произведением конечного числа множествХ_х х Х₂ ^х... *Х_к называется множество всех кортежей (*,,л;₂,...,х_к) длины к, составленных из элементов этих множеств: € X,,х, е Х₂,...,х_к е Х_к.

Отношение (четкое или нечеткое), построенное на основе двух множеств, называется бинарным, на основе трех множеств - тернарным, на основе к множеств - /г-арным. Отношение может быть задано на одном универсуме. Например, бинарное нечеткое отношение, заданное на универсуме X, имеет вид R = {{*,, *,•), /'({*,, *,})}, при этом -V, 6 X и Xj 6 X.

Нечеткие отношения могут быть заданы различными способами:

• - в форме списка с явным перечислением всех кортежей отношения и соответствующих им функций принадлежности. Это способ применим для отношений с небольшим числом кортежей;
• - аналитически в форме выражения для функции принадлежности;
• - для бинарных отношений дополнительно могут быть использованы следующие способы:

графически в виде некоторой поверхности. При этом независимыми переменными являются значения универсумов Х_х и Х₂, а третья координата представляет собой соответствующее значение функции принадлежности;

в виде матрицы конечного бинарного отношения, строки которой соответствуют первым элементам кортежей, а столбцы - вторым элементам кортежей. Элементами матрицы являются соответствующие значения функции принадлежности;

в виде нечеткого графа, вершины которого соответствуют элементам универсумов Х_х и Х₂, а дуга, соединяющая вершины x_t еХ и х_у. е X, показывает, что кортеж (^х_п х^ входит в отношение. Около каждой дуги указывается функция принадлежности соответствующего кортежа.

Рассмотрим пример. Пусть даны два множества: Xj ={#,, а₂,...,а₆} - множество пользователей Internet и

Х₂ ={/?,, } - множество Internet. Декартово произведение

X, х Х₂ в матричной форме имеет вид

Примером нечеткого отношения, заданного на X, х Х₂, является отношение «Пользоваться браузером». В матричной форме каждый элемент такого отношения функцию принадлежности, в нашем примере - степень популярности у каждого пользователя каждого браузера.

Так как нечеткое отношение является нечетким множеством, то сохраняются определения над отношениями. Например, [12], пересечением двух нечетких отношений

, /j_r ((х,, х₂,..., jc* ))} называется нечеткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении универсумов X, х Х₂ х ... * Х_к, функция принадлежности которого определяется по формуле

Объединением двух нечетких отношений Q и R называется нечеткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении универсумов X, * Х₂ * ... х Х_к, функция принадлежности которого определяется по формуле

Операции над нечеткими отношениями могут быть определены с помощью t-норм и s-норм.

Зачастую требуется выполнить операции над нечеткими множествами, заданными на разных универсумах^", и X,. Такие множества с помощью операции цилиндрического продолжения (расширения) предварительно приводят к нечетким отношениям, заданным па декартовом произведении X_t и Х₂, а затем выполняют операцию над отношениями, заданными на одном универсуме. Цилиндрическое продолжение определяется следующим образом [14]. Пусть Х_у иХ₂- четкие множества (функции принадлежности элементов которых равны единице), а А - нечеткое множество, заданное на Х_{. Цилиндрическим продолжением А* множества А на область определения X_t х Х₂ называется отношение, представляющее собой декартово произведение А X X,. Функция принадлежности А* имеет вид

В матричном представлении отношения А* столбцы матрицы функций принадлежности будут одинаковыми и равными значениям функции принадлежности нечеткого множества А*.

Используется также операция проекции, противоположная цилиндрическому продолжению. Если А - нечеткое отношение с областью определения X, х Х₂, то проекцией этого отношения на множество Х₁ называется нечеткое множество А*, функция принадлежности которого имеет вид М(*,, х₂) = max /л_А (х,, х₂).

Рассмотрим также операцию композиции (комбинации) бинарных отношений. Пусть бинарное нечеткое отношение Q = f(*_; >^xj)> Mq ((•*, » ^xj ))| задано на декартовом произведении Х_] х Х₂, а нечеткое отношение R ={(*,> /*_Ry{x_J9 ^})} задано на декартовом произведении Х₂ х Х_у Композицией бинарных отношений Q и R называется нечеткое бинарное отношение, обозначаемое через Q®R (используется также обозначение Q®R [18]), заданное на декартовом произведении X, х функция принадлежности которого определяет- ся формулой H_Q&R ((xj, х_к}) = max jmin |//_у ({х„ х,.}), ({х_;1 х_к))} J,

V{x_i,X()eX_l xXj.

Такую композицию называют еще (тах-тт)-композицией или максиминной сверткой нечетких отношений.

Вместо операции в композиции можно использовать операцию

Важную роль в нечетком выводе играет композиция (комбинация) нечеткого множества /1сХи нечеткого отношения ЛсХх Y, которая обозначается A® R (или A® R) и определяется как нечеткое множество 5cY и функцией принадлежности [ 18]

Вместо операции min в композиции можно использовать операцию prod. Более подробно с операциями над нечеткими отношениями можно познакомиться в [4, 12, 14, 18].