ОСНОВЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

Нечеткое высказывание. Логические операции с нечеткими высказываниями

Элементарным нечетким высказыванием называется повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно истинности или ложности которой можно судить только с некоторой степенью уверенности. Подробнее понятие нечеткого высказывания рассматривается в разделе 2.3. Примером нечеткого высказывания является высказывание «высокая температура больного». В классической математической логике множество значений истинности элементарного высказывания состоит из двух элементов: {«истина», «ложь»} или {1,0}. В нечеткой логике значение (степень) истинности [1-2] элементарного нечеткого высказывания А принимает значения из замкнутого интервала [0,1]. Значения 0 и 1 являются предельными значениями степени истинности и совпадают со значениями «ложь» и «истина». В нечеткой логике истинность рассматривается как лингвистическая переменная с термами «истинно» и «ложно», имеющими свои функции принадлежности. Например, Заде [6] предложил следующие функции принадлежности для термов «истинно» и «ложно»

где ме[0, l] - значение истинности; я е[0,1] - параметр, задающий носители нечетких множеств «истинно» «ложно». Для нечеткого множества «истинно» носителем будет интервал (я, 1], а для нечеткого множества «ложно» - [0, я).

Лингвистические модификаторы «очень», «более-менее» позволяют получить термы «очень ложно», «более-менее ложно» и т. п.

В нечеткой логике нельзя для определения логических операций использовать таблицы истинности. Но нечеткие высказывания являются элементами множеств нечетких высказываний, поэтому для логических операций используются рассмотренные в разделе 1.5 операции с нечеткими множествами. Рассмотрим основные логические операции с нечеткими высказываниями. По аналогии с общим определением нечетких множеств обозначим нечеткие высказывания через Л и В, а функции принадлежности, задающие значение истинности этих высказываний, через fl_A(u и Ц_в(и), ueU, где U - множество элементарных нечетких высказываний. _

Отрицанием нечеткого высказывания А (также используются обозначения -.Л, not Л, не А ) называется операция, результатом которой является нечеткое высказывание, функция принадлежности которого имеет вид ц_А (м) = 1 - ц_А [и).

Логическая конъюнкция нечетких высказываний А и В (обозначается через А л В, используются также обозначения А&В, A and В, А и В) - это логическая операция, результатом которой является нечеткое высказывание, функция принадлежности которого вычисляется с использованием t-нормы (разд. 1.5). Например, min-конъюнкция определяется формулой

Для определения конъюнкции также могут быть использованы алгебраическое произведение функций принадлежности 1¹алВ¹¹) ⁼ №a^uY №в(^и)> граничное произведение /л_АаВ(м) = тах{ц_л(и) + ju_B(u)-1,0} ,драстичсскоспроизведение

Дизъюнкцией нечетких высказываний А и В (обозначается как Av В, применяют также обозначения А В, АогВ, А и В) называется логическая операция, результатом которой является нечеткое высказывание, функция принадлежности которого вычисляется с использованием s-нормы (разд. 1.5). Например, тах-конъ- юнкция определяется формулой

Для определения дизъюнкции также могут быть использованы алгебраическая сумма функций принадлежности Ma_vb{^u) ⁼ M_a{^u) + Vb{^u)-Va{u)-Mb{^u)' граничная сумма /^(u) = min{//,(w) + /y_fi(w), l} , драстическое произведение

Эквивалентностью нечетких высказываний А и В (обозначается как А = В, используются также обозначения Д ~ В, А<^> В, А<-> В) называется логическая операция, результатом которой является нечеткое высказывание, функция принадлежности которого вычисляется по формуле

Особую роль в нечеткой логике играет нечеткая импликация. Напомним, что в классической математической логике импликацией называется операция над двумя высказываниями А и В, результат которой принимает значение «ложь» в случае истинности высказывания А и ложности высказывания В. В остальных случаях результатом импликации является «истина». Импликация обозначается через А —> В, используются также обозначения А=> В, A Z) В, if A then В, если А то В. Высказывание А—> В читается как «А включает В», «из А следует В», «если А то В,»(последнюю форму прочтения не следует путать с правилом продукции).

Известно [4, 12, 14] несколько формул вычисления функции принадлежности нечеткой импликации. В модели Мамдани (Е. Mamdani) функция принадлежности определяется по формуле Pa->b(^u) ⁼ ^(/*а(^ы)’ /*д(и)), Т- произвольная t-норма.

Чаще всего используется правило типа «min», называемое еще нечеткой импликацией Мамдани

Применяется еще правило типа «произведение», или правило Ларсена (Larsen)

Правила типа Мамдани не являются импликациями в логическом смысле, так как при предельных значениях //Дм) и //Дм), равных 0 и 1 правила не дают результат классической импликации четкой логик. Легко проверить, что при этих условиях правила Мамдани дают значение Ц_А_>_в(и) = 1 только при (м) = 1 и /Лв(w) = 1 При всех остальных значениях /^->Д^М) ⁼ 0, что противоречит классической математической логике.

Предложено несколько формул вычисления функции принадлежности импликации, дающих импликации в логическом смысле [27]. Прежде всего, это классическая импликация Заде (Zadeh L.)