Эффект от проекта с учетом возможности его прерывания
Эффект от проекта.
Пусть существует некоторый проект, приносящий денежный
_ поток, отраженный вектором С0, С,, С2,
Ср С„. Если бы не было вероятности я отказа от проекта, то критерий NPV был бы равен
Предположим, что среднегодовая вероятность отказа от бизнеса в т-м году равна лт. Тогда с учетом приведенных выше рассуждений для (3-2-1) получим
Таким образом, стандартная функция финансовой математики г; =__^__ с учетом вероятности прерывания бизнеса превращается в функцию рт =|д^^| .
Нетрудно вывести аналогичные формулы и для других функций финансовой математики с учетом я-фактора (в данном случае я — средняя вероятность прекращения потока платежей в расчете на единичный интервал времени). Эти функции представлены в табл. 3.2.1.
ТАБЛИЦА 3.2.1. Основные функции финансовой математики с учетом вероятности прерывания потока платежей
В качестве примера приведем вывод формулы приведенной ценности перпетуитета с учетом я-фактора.
Если единичный платеж равен 1, то сумма таких платежей в пределе к бесконечности равна
и по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Премия за реальный опцион на отказ от проекта
По завершении 1-го года вероятность получения ликвидационной стоимости Ьх равна я,. Получение ликвидационной стоимости ¿2по завершении 2-го года возможно, только если 1-й год прошел успешно, бизнес продан не был и стоимость его ликвидации I,, получена не была. Вероятность этого равна 1 - я^ Отсюда вероятность получения ликвидационной стоимости Ь2 равна (1 - л,)я2.
По аналогии вероятность получения ликвидационной стоимости ¿3 в 3-й год равна (1 - я1)(1 - я2)я3 и т.д. Итак:
Если все математические ожидания получения ликвидационной стоимости теперь просуммировать, введя в расчет фактор времени, можно получить
Свернув эту формулу, получим ценность опциона на отказ от бизнеса
где яп = 0.
Полный эффект от проекта с учетом возможности его остановки и реального опциона
Полный эффект от проекта с учетом возможности отказа от бизнеса (АРУ) можно определить, суммируя сто NPV и ценность _ реального опциона, т.е.
или
где АРУ — полный эффект от проекта с учетом возможности отказа от бизнеса;
Сс — ожидаемая величина денежного потока по проекту в £-м году; г — ставка дисконта, соответствующая риску проекта; Ь, — стоимость, получаемая при отказе от бизнеса в £-м году; /у — ставка дисконта, соответствующая риску получения ликвидационной стоимости при отказе от проекта (либо безрисковая ставка, если получение стоимости ликвидации гарантировано); Е, П — соответственно символы суммы и произведения.
Формулу (3-2-4) рекомендуется использовать при возможности отказа от бизнеса, т.е. при учете п-фактора.
Оценка среднегодовой вероятности отказа от проекта
Определение вероятности π.
До сих пор мы полагали, что вероятность прекращения бизнеса нам известна. В случае если речь идет о вынужденном отказе от проекта, возможность такого оборота событий может быть определена экспертным путем или, если есть достаточный опыт инвестирования, на основе статистических оценок. Если же мы имеем дело с вероятностью добровольного отказа от проекта, как возможный вариант автором предлагается более формализованная процедура, суть которой сводится к следующему.
Примем предположение, что вероятность отказа от бизнеса равна вероятности того, что доходность проекта окажется меньше барьерного минимального уровня доходности, например нуля или безрисковой ставки /у. Это предположение основано на том, что бессмысленно вкладывать деньги в рисковый проект, если безрисковое вложение дает инвестору столько же дохода или больше. И поэтому если вероятность того, что доходность проекта в среднегодовом измерении окажется меньше Ге, равна тс, то и вероятность отказа от такого инвестиционного решения может быть условно принята равной тс.
Чтобы найти вероятность подобного оборота событий, рассчитаем М>У но проекту, используя пессимистический, оптимистический и наиболее вероятный варианты развития проекта. В качестве ставки дисконта используем барьерную доходность ту. Найдя ожидаемое значение и среднеквадратическое отклонение КРУ, построим кривую нормального распределения вероятности, а затем, пользуясь данным законом распределения, найдем вероятность того, что NPV будет меньше нуля. Это и будет искомая вероятность.
Таким образом, чтобы определить АРУ проекта с учетом опциона на отказ от бизнеса, требуется:
- • экспертным путем или с помощью простого вероятностного моделирования оценить среднегодовую вероятность я того, что проект на данном этапе (в данный год) придется прекратить. Эту вероятность можно дифференцировать но годам или по этапам проекта;
- • произвести оценку стоимости, получаемой при отказе от проекта в каждый год его осуществления, т.е. определить вектор I,, Ь2,Ь„ цен исполнения реальных опционов на отказ от бизнеса;
- • определить АРУ проекта с помощью модели (3-2-4).
Ситуация 2.4 (Продолжение). Применение алгоритма оценки инвестиций с учетом вероятности отказа от бизнеса к проекту освоения производства угольного брикета на Тишинском разрезе Восточного угольного бассейна
Вернемся к проекту производства угольных брикетов, описанному в основных чертах в гл. 2, § 2.
Предположим, помимо денежных потоков для наиболее вероятного развития событий по данному проекту были также рассчитаны денежные потоки по пессимистическому и оптимистическому сценариям развития объекта.
Пессимистический вариант развития исходит из возможности потерь вследствие омертвления части капитала в неликвидных основных фондах в 1-й год и недостатка капитала для завершения предоперационной фазы проекта.
Оптимистический вариант развития проекта основывается на возможности выхода на мировой рынок минуя посредников и на оптимистическом прогнозе спроса. Все это позволит увеличить объемы реализации углебрикетов на 20% без увеличения затрат по сравнению с базовым вариантом.
Таким образом, денежные потоки по проектам для оптимистического, наиболее вероятного и пессимистического сценариев выглядят следующим образом:
Год |
Денежный поток, тыс. долл., по сценарию |
||
оптимистическому |
наиболее вероятному |
пессимистическому |
|
0-й период (0,5 года) |
-4724 |
-4724 |
-4724 |
1-й, 1-е полугодие |
73г>? |
7076 |
|
1-й, 2-е полугодие |
-2164 |
-2164 |
|
2-й |
3750 |
-1950 |
|
И |
14520 |
91/0 |
|
4-й |
14 920 |
-9520 |
|
5-й |
14 920 |
-9520 |
Используя безрисковую ставку с поправкой на страновой риск России, составляющую (по условию ситуации) 10,8% годовых, получаем значение NPV для каждого сценария, тыс. долл.:
пессимистического E(NPV)m(n -11 146
наиболее вероятного E(NPV)p 23 821
оптимистического E(NPV)max 33 225
Ожидаемое значение NPV и его среднеквадратическое отклонение определим по методу приближенных статистических оценок PERT:
где Е(NPV) — ожидаемое значение случайной величины NPV; о(NPV) — ее стандартное отклонение. Ожидаемое значение NPV, тыс. долл.:
(-11 446 + 23 821 х 4 + 33 225)/6 = 19 510.
Среднеквадратическое отклонение, тыс. долл.:
(33 225+ 11 446))/6 = 7445.
Нормализованное значение NPV:
(0 - 19 510 тыс. долл.)/7445 тыс. долл. = -2,62.
Соответствующее значение вероятности, найденное по таблицам кумулятивной функции нормального распределения, — 0,44%. Используем ее для расчета NPV с учетом вероятности прекращения бизнеса. В качестве ставки дисконта используем обоснованную ранее ставку 19,65% годовых. Начальный (нулевой) момент времени для данных расчетов был взят за полгода до начала инвестиционного периода, что соответствовало моменту осуществления предварительной оценки.
Таким образом, с учетом вероятности прекращения бизнеса нами получено значение чистого приведенного дохода по проекту, равное 7051,3 тыс. долл.
Для сравнения: без учета вероятности прекращения проекта его приведенный чистый доход оказался бы на 239 тыс. долл. больше и составил бы 7290 тыс. долл. В рамках данного проекта это не критично, поскольку не влияет на вывод об эффективности проекта. В иных условиях, когда NPV проекта мал, побочные эффекты (налогообложение, цена банкротства, способ финансирования, стоимость услуг по размещению ценных бумаг и поиску кредитора) могут оказать решающее влияние.
Другими словами, сумма, равная 239 тыс. долл., достаточно значима и считать ее пренебрежимо малой было бы неправильно даже в данном проекте, поскольку в сумме все побочные эффекты могут скомпенсировать положительный чистый доход от проекта, даже если каждый из них невелик по сравнению с этим доходом.