Экономика в LR: модель Солоу
В предыдущем параграфе мы рассмотрели содержательную сторону экономического роста. Обратимся теперь к формальным моделям, которые характеризуют экономический рост с количественной точки зрения.
Базовой моделью экономического роста служит модель американского экономиста Роберта Солоу 1957 г.
Производство и потребление в частной экономике
Рассмотрим однопродуктовую частную закрытую экономику. Пусть в данной экономике используются всего два фактора производства: труд и капитал, а выпуск в каждый момент времени с определяется производственной функцией У( = Р(К[3 где /•* — производственная функция с постоянной отдачей от масштаба. Примем условие, что функция Р возрастает по все аргументам, вогнута и удовлетворяет традиционным формальным условиям (условиям Инада):
Эти условия показывают, что предельные продукты факторов производства очень велики при небольших объемах ресурсов и очень малы при значительных объемах. Такое соотношение характеризует большинство реальных экономик и гарантирует получение осмысленного с экономической точки зрения итогового результата модели.
Произведенная в момент времени г продукция может быть использована либо на потребление Сг, либо на инвестиции 7Г:
В свою очередь полученный доход потребители могут распределить между потреблением С( и сбережениями Я(:
Пусть сбережения являются фиксированной долей дохода:
где 5 — норма сбережения, не зависящая от дохода и момента времени с (0 < 5 < 1), будем считать 5 экзогенным параметром модели.
В равновесии произведенный и потребленный доходы равны, поэтому получаем
Как известно, капитал изнашивается с течением времени и требует адекватной замены. Обозначим через 5 (0 < б < 1) норму амортизации капитала, полагая ее постоянной.
Валовые инвестиции в каждый момент времени равны сумме чистого прироста капитала и амортизационных расходов
где К — чистый прирост капитала; ЗК{ — совокупные амортизационные расходы.
Техническая вставка
В моделях экономического роста часто используется производная по времени какого-либо показателя. Для удобства экономистами принимается традиционное математическое обозначение данной производной как символа показателя с точкой наверху.
Подставляя выражение для инвестиций в формулу равновесия, получаем
Будем считать, что население в рассматриваемой экономике равно трудовым ресурсам и растет с постоянным темпом п
Пусть в экономике имеет место полная занятость. Тогда компонент труда, входящий в производственную функцию, равен наличным трудовым ресурсам.
Поделим обе части уравнения равновесия на 1( и с учетом однородности первой степени функции ¥ получим
Удобнее исследовать не абсолютные величины выпуска и объемов ресурсов, а количества на одного занятого. Обозначим через к капитал в расчете на одного работника (показывает фондовооруженность труда)
а через /(к) — выпуск на одного занятого (характеризует производительность труда)
Тогда
откуда находим
и подставляем в уравнение равновесия
Данное дифференциальное уравнение называется уравнением накопления капитала. Оно показывает взаимодействие между приростом капитала на душу населения и уровнем сбережений в экономике.
Если сбережения на душу населения превышают инвестиции, необходимые для поддержания неизменной величины подушевого капитала, эти избыточные средства позволят увеличить запас капитала надушу населения. И наоборот, если сбережения надушу населения оказываются меньше требуемых инвестиций, капитал в экономике проедается, запас подушевого капитала падает, рост замедляется.
