Проверка адекватности описания процесса массопередачи математическими моделями

Следует считать доказанным, что структуру комбинированной математической модели распределения потоков на барботажных тарелках, отражающую истинный механизм процесса перемешивания, определяют экспериментально.

Проверка адекватности модели реальному процессу является одним из главных и завершающих этапов математического моделирования. Однако теоретические методы проверки адекватности разработаны слабо.

Рассмотрим методы проверки адекватности на примере исследования модели процесса массообмена на барботажных тарелках. Очевидно, следует различать два этапа проверки адекватности модели реальному процессу: первый - это проверка адекватности модели структуры потока жидкости (по С-кривой, /?-кривой и т. д.); второй - проверка адекватности модели реальному процессу массопередачи.

Проверка адекватности модели структуры потока жидкости осуществляется путем сравнения экспериментальной кривой отклика на типовое возмущение с теоретическими функциями отклика, рассчитанными по предлагаемой модели. Этот метод мало эффективен, поскольку при этом можно подобрать такую модель, которая будет абсолютно точно воспроизводить экспериментальную кривую и в то же время совершенно не соответствовать механизму процесса.

Некоторые исследователи проверку адекватности проводят сравнением моментных характеристик (от второго центрального момента до четвертого) экспериментальной и теоретической функций распределения. Однако было доказано, что разница в моментах выше первого для различных моделей падает с ростом дисперсии функции отклика. Отмечалось также, что с ростом порядка момента растут ошибки в определении его значения по экспериментальной кривой. В то же время было установлено, что ошибка в определении параметров модели падает с увеличением порядка момента (в качестве примера была выбрана диффузионная модель). Это свидетельствует о том, что точность определения параметров модели зависит не только от точности определения моментных характеристик, но и от характера зависимости между параметрами модели и моментными характеристиками.

При исследовании структуры потока известным методом синусоидальных возмущений проверка адекватности может осуществляться путем сравнения экспериментальных и теоретических зависимостей амплитудных и фазовых характеристик. Адекватность модели структуры потока может быть проверена также путем сравнения функций интенсивности.

Недостаток всех этих методов проверки адекватности заключается в том, что ни один из них не позволяет количественно оценить адекватность.

Для выбора структуры модели, адекватной реальному процессу массопередачи, необходимо использовать несколько методов исследования структуры потоков.

Если вид функции отклика комбинированной модели для линейных систем не зависит от взаимного расположения ее составляющих, то для нелинейных процессов порядок расположения отдельных зон модели весьма существен. Поэтому ни один из вышеперечисленных методов установления адекватности не позволяет установить структуру модели. Только использование комплекса методов исследования - методов установившегося состояния, импульсного возмущения и отсечки, либо метода моментов функции распределения (см. гл. 3.2) - позволяет получить структуру модели, адекватную реальному процессу. Это обусловливает необходимость второго этапа моделирования - проверки адекватности модели реальному процессу массопередачи. Этот этап особенно важен в случае анализа нелинейных процессов.

Проверку адекватности модели реальному процессу массопередачи можно осуществить двумя методами:

• 1) сравнением экспериментального и теоретического значений эффективности тарелки по Мерфри;
• 2) сравнением экспериментального и теоретического профилей концентраций по длине или высоте аппарата.

Адекватность между экспериментально определенной эффективностью и рассчитанной по моделям проверяется по критерию Стьюдента. Существует гипотеза о незначимости различия между средним экспериментальным значением эффективности

т^_х и средним значением эффективности, рассчитанной по моделям r]j_X.

Для случая малой выборки (N_T + N₃ < 30) вычисляем следующие величины:

1) средние значения эффективностей

где N_T, Nэ - число наблюдений теоретических (Af_T) и экспериментальных (Л^_э);

^_ значения экспериментальных и теоретических эффективностей работы тарелки по жидкой фазе;

2) дисперсию двух средних

3) критерий Стьюдента

Чем меньше расчетное значение /-критерия по сравнению с табличной величиной для выбранного уровня значимости р и числа степеней свободы (N_T + - 2), тем точнее данное уравнение модели описывает процесс.

Ниже приведены расчетные и табличные значения /- критерия для эффективностей тарелки, рассчитанных по моделям: полного перемешивания, идеального вытеснения, диффузионной и комбинированной моделям.

Расчетные значения /-критерия для моделей структуры потока жидкости: а) модель идеального вытеснения - 5,284; б) модель полного перемешивания - 4,7422; в) диффузионная модель - 0,1676; г) комбинированная модель - 0,0403.

Табличные значения /-критерия для уровней значимости р = = 5% - 2,07, для р = 10% - 1,717.

Экспериментальные значения эффективностей тарелки взяты из работ РХТУ им. Д. И. Менделеева. Сравнения экспериментальных и теоретических (расчетных) данных для простейших моделей структуры потока показали, что значения критерия Стьюдента значительно выше табличной величины. Только диффузионная модель с вероятностью 95% адекватно описывает процесс.

Однако вероятная величина максимального отклонения эффективности от его среднего значения при данном уровне значимости и числе степеней свободы для комбинированной модели почти на порядок ниже, чем для диффузионной модели. Это указывает на то, что экспериментальные данные ближе всего к теоретическим, рассчитанным по комбинированной модели.

Для проверки адекватности экспериментального профиля концентрации с теоретическим можно использовать критерий Пирсона - у}.

Проверка адекватности с использованием критерия согласия - критерия Пирсона - заключается в следующем. На основании экспериментальных данных принимают гипотезу о том, что закон изменения концентрации х, по длине тарелки подчиняется выбранной модели. Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с принятой гипотезой, т. е. можно ли отклонения экспериментальных данных, полученных по модели, объяснить случайными причинами, ошибками эксперимента, или же расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между экспериментом и моделью.

В качестве меры расхождения между теоретическим, рассчитанным по модели, и экспериментальным распределением используют сумму квадратов отклонений, взятых с некоторыми “весами”. При определенном выборе “веса” эта сумма квадратов отклонений называется критерием Пирсона.

Критерий Пирсона для нашего случая можно представить в виде:

где х,/ - концентрация пробы, рассчитанная по модели; х,, - концентрация проб, снятая в результате эксперимента; к - число разрядов (точек) анализа проб концентрации.

Если для выбранного уровня значимости экспериментальное значение у} не превышает табличного, то можно считать, что экспериментальный профиль концентрации не отличается существенно от рассчитанного по модели, а наблюдаемые отклонения объясняются случайными причинами.

Модель полного перемешивания

В качестве примера проверки адекватности модели реальному процессу массопередачи по профилю концентрации по длине тарелки были взяты экспериментальные профили, снятые в разных режимах по газу и жидкости в РХТУ им. Д. И. Менделеева.

В табл. 3.2 приведены расчетные и табличные значения критерия Пирсона, из которого следует, что расхождения между экспериментальным и теоретическим профилем концентрации существенны для моделей полного перемешивания, идеального вытеснения и диффузионной, и отнести их за счет случайных причин нельзя.

Расчетные значения критерия у², определенные по кобини- рованной модели (см. рис. 3.7) в / и J примерах не превышают табличных значений критерия у² для 95% вероятности. В примерах 2 и 4 расчетные значения критерия у} превышают табличные, что можно объяснить большими ошибками эксперимента.

Для сравнения данных, полученных по комбинированной модели, был сделан расчет числа ступеней разделения, структура потока паровой и жидкой фаз описывалась при этом следующими моделями:

модель 1 - идеальное вытеснение паровой фазы и идеальное вытеснение жидкой фазы;

модель 2 - полное перемешивание паровой фазы и идеальное вытеснение жидкой фазы.

Результаты расчета числа тарелок при различных значениях локальных эффективностей тц)у свидетельствуют о необходимости учета влияния реальной структуры потоков на эффективность массообменных аппаратов (приведены ниже):

Примечанием —1,1; у* = 0,52 (средняя концентрация пара вверху)

Необоснованная идеализация структуры потока жидкой фазы (описание их моделями идеального вытеснения или полного перемешивания) может привести к неверному расчету высоты массообменных аппаратов, что обусловит занижение числа контактных устройств и, в свою очередь, не позволит достичь на них заданной степени разделения. Причем, в зависимости от значения Лоу и вида модели ошибка может составлять от 40% (при Поу = 0,6) до 144-70% (при поу = 0,2).

Таким образом, можно заключить, что при расчете тарельчатых аппаратов для проведения диффузионных процессов необходимо учитывать реальную картину структуры потока жидкой и паровой фаз.

Авторы: Комиссаров Юрий, Гордеев Лев, Вент Дмитрий