Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ АППАРАТОВ
Посмотреть оригинал

Решение задачи линеаризации для взаимосвязанных систем разделения

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы - все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной.

Линеаризация математического описания системы разделения требует дифференциации “стандартных” и “нестандартных” уравнений, описывающих эту систему, с целью формирования матрицы частных производных /'(*)> и последующего решения полученной линейной системы уравнений.

Выше (см. разд. 5.2) рассматривался подход к моделированию системы взаимосвязанных колонн разделения, предусматривающий описание любых ограничений как “нестандартных” спецификаций, записываемых в конец общей системы.

С учетом этого математическое описание системы разделения может быть записано в виде набора функций рассогласования:

где f - "стандартные” уравнения для /-Й ступени контакта; NS - все “нестандартные” уравнения; PC - процедуры (если они есть) как “нестандартные” спецификации;

подвектор f= (Mi. M,« E„ .....Qi)T'.

подвектор NS = (NSj, NS2, .... NS*/)r; подвектор PC = (PC|, PC2, PCp)T

при этом M - число “нестандартных” спецификационных уравнений; р - число уравнений, связанных с процедурами.

Вектор независимых переменных математического описания системы разделения в этом случае запишется в виде:

где Xj - подвектор 2С + 1 независимых переменных, связанных с /' -й ступенью контакта; ANS - подвектор “нестандартных” переменных; ЯРС - подвектор р дополнительных переменных, связанных с процедурами;

подвектор Х,= (Уц..... Уи, Т,. Цл,.... ?,.г;

подвектор ANS = (ANS|, ANS2 АТЫSд/)

подвектор ЛРС = (ЛРС|, ЛРС2, ..., ХРСр)т.

При этом следует отметить, что матрица частных производных для одиночной многостадийной колонны имеет простую блочную трехдиагональную форму (БТДФ).

Рассмотрим систему взаимосвязанных колонн, приведенную на рис. 5.5. Математическое описание этой системы колонн с 4-мя “нестандартными” спецификациями дано на рис. 5.4. Якобиан этой системы имеет БТДФ с дисперсными элементами и окаймлением.

Данную линейную систему можно решить с помощью итерационного или прямого метода. Нами использовался прямой метод решения линеаризованной системы разделения, поскольку итерационные методы требуют больших объемов памяти ЭВМ и многократного пересчета производных термодинамических свойств.

В ряде работ предложен алгоритм, позволяющий применить блочное гауссовское исключение к БТДФ с дисперсными элементами, в других - алгоритм, отличающийся тем, что производные “стандартных” и “нестандартных” уравнений по “нестандартным” независимым переменным, и производные “нестандартных” уравнений по “стандартным” независимым переменным формируют правое и нижнее окаймление Якобиана. В предложенном ниже алгоритме использовалась схема обработки “нестандартных” спецификаций, к которой добавлялось смещение дисперсных блочных элементов к окаймлениям. Матрица, изображенная на рис. 5.4, может быть преобразована в матрицу, данную на рис. 5.6, одновременным смещением строк 4 и 16 к нижнему окаймлению и столбцов 4 и 16 к правому окаймлению. Результирующая матрица является окаймленной, блочноокаймленной, блочнодиагональной, блочнотрехдиагональ -

Линейная система рис. 5.4 после перестановок, в окаймленной, блоч- ноокаймленной, блочнотрехдиагональной форме

Рис. 5.6. Линейная система рис. 5.4 после перестановок, в окаймленной, блоч- ноокаймленной, блочнотрехдиагональной форме

ной формы (ОБОБДБТДФ) или окаймленной блочнотрехдиагональной формы (ОБТДФ). Такие системы решались с помощью алгоритма блочно-построчного уменьшения, который будет описан ниже и в сущности эквивалентен рекурсивному использованию блочнотреугольного разбиения (БТР), связанного с Fy факторизацией.

Для ясности последующего обсуждения введем некоторые дополнительные термины.

Линейная система, приведенная на рис. 5.6, подразделяется на матрицу первичной линейной подсистемы - блочнодиагональную матрицу, соответствующую 17 из 19 стадий системы разделения (кроме 4 и 16) на рис. 5.7),- и матрицу “правых частей”, состоящую из а) двух матричных векторов, соответствующих частным производным для 17 стадий (кроме 4 и 16) по потокам и температурам стадий 4 и 16; Ь) четырех подвекторов, соответствующих частным производным для 17 стадий (кроме 4 и 16) по “нестандартным” независимым переменным

(S4, Sg, S)6 и Qr см. рис. 5.5); с) подвектора B| правых частей линеаризованной системы. Пункты а) и Ь) соответствуют R2, ..., Rl на рис. 5.7, в то время как В] соответствует В?.

Матрицу первичной линейной подсистемы М иногда называют “матрицей простой структуры”, так как она является блочнодиагональной и ее диагональные блоки имеют блочнотрехдиагональную форму (БТДФ), которые являются матрицами вторичных линейных подсистем.

Первая вторичная линейная подсистема, содержащая производные уравнений для 1 - 3 стадий по температурам и потокам стадий 1 - 3, является матрицей общего вида для следующих вторичных линейных подсистем БТДФ, чьи “правые части” есть два матричных вектора и пять подвекторов (включая подвектор Bi). То есть первая правая подматрица содержит производные уравнений для стадий 1 - 3 по температурам и потокам стадии 4 и т. п.

Вторичные подсистемы решаются посредством неявной блочной LU- (или UL-) факторизации, которая эквивалентна “стандартному” или реверсивному блочному исключению Гаусса, так называемому алгоритму Томаса. В процессе блочного исключения необходимо решить третичные линейные подсистемы, чьи матрицы являются либо подблоками на главной диагонали, обозначенные буквой В на рис. 5.6, либо матрицы, которые их замещают в процессе исключения. На шагах lb, 2Ь и т. д. схемы блочного уменьшения по строкам для решения фундаментальной линейной системы, как показано на рис. 5.7 и обсуждаемом ниже, необходимо решить дополнительные подсистемы, которые будем называть “системами малого ранга” (соответствуют нижнему окаймлению на рис. 5.6). Априори нельзя определить ранг Т-матриц на рис. 5.7 или матриц, которые их замещают в процессе уменьшения по строкам. Разреженный участок рис. 5.6 лучше использовать в случаях, если:

  • 1) производные уравнений для стадии 4 на рис. 5.6 представлены Т-2 на рис. 5.7;
  • 2) производные уравнений стадии 16 по температуре и потокам представлены 7з;
  • 3) производная первого “нестандартного” уравнения NS] = S4/.4 - 50 по первой “нестандартной” переменной S4 представлена Г4 и т. п.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы