Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ АППАРАТОВ
Посмотреть оригинал

Классический метод непрерывной гомотопии.

При движении от t = 0 до t = 1 алгоритм работы классического метода гомотопии заключается в следующем (рис. 5.9). Выбирается последовательность величин / и уравнение (5.8) решается для х методом Ньютона для каждой величины t с предыдущим решением как начальной точкой. При некоторых ограничениях теорема Ньютона - Канторовича гарантирует, что такая последовательность может быть найдена.

Хотя классический метод гомотопии полезен в теоретическом плане, следующий пример показывает почему в большинстве современных алгоритмов траектория гомотопии определяется посредством преобразования уравнения гомотопии к задаче начальных условий обыкновенного дифференциального уравнения.

Пример поиска корней нелинейного уравнения методами выпуклой линейной гомотопии.

Допустим, требуется определить корень уравнения:

График этой функции, приведенный на рис. 5.10, дает один положительный корень, равный 15,55063. Последовательными приближениями по методу Ньютона можно найти этот корень только в случаях, когда х° больше 12,6. Метод Ньютона с демпРис. 5.11. Траектории гомотопии для g {дг> =

Рис. 5.10. График функции fix) = х3 - ЗОх2 + +280* - 860

f{x) = Xs - ЗОх2 + 280х - 860 h{x, t) =/М - (1 - 0/{л°> - 0

-/М-Л*®)

фированием, когда демпфирующий множитель определяется линейным поиском минимума ||/[х}||, также не работает для х° < 12,6.

Пусть g{x} = Дх) — y{jc°} - гомотопия Ньютона, тогда уравнение (5.8) принимает вид:

иллюстрирует графики решений уравнения (5.9) в координатах х как функции /; на нем показаны шесть траекторий гомотопии, соответствующих семи начальным приближениям х°

Рис. 5.11 иллюстрирует графики решений уравнения (5.9) в координатах х как функции /; на нем показаны шесть траекторий гомотопии, соответствующих семи начальным приближениям х°: -5, 0, 5, 7,41801, 12,581, 15,20 и 30. Траектории гомотопии для х° = 5 и х° = 12,581, а также для х° = 7,41801 и х° = 15,20 совпадают.

Предположим, что классический метод гомотопии был применен к следующей последовательности значений 1: 0; 0,1; 0,3; 0,6 и 1,0. Для /=0 уравнение (5.9) принимает вид: h{x, t} = /{*} -/{х°> или/{*} = /{х0}. При начальном приближении х° = 0, последовательно применяя метод Ньютона, получим следующий ряд значений х{/}:

где каждый шаг по t начинается от начального приближения, равного результату сходимости при предыдущем значении !.

Рис. 5.12. Траектория гомотопии при g (х)= = х-J

К сожалению, начиная с х{0,6} как начального приближения для определения х{ 1,0} = х, метод Ньютона не дает сходимости.

Сходимость достигается с трудом из-за крутого градиента и/или точек перегиба на траектории гомотопии. Еще более трудная траектория для х° = 5, где наблюдается точка перегиба при х° = 7,418. Вообще, точки перегиба на траектории гомотопии присутствуют при х= 7,418 и х = 12,581 (соответствующих /'{х} = 0 на рис. 5.11). То есть для всех х°, меньших, чем 7,418, и для всех х°, больших, чем 12,581, не существует точек перегиба и сходимость к х' достигается быстро.

Как видно из этого примера, классический метод гомотопии в данном случае не является жизнеспособной альтернативой методу гомотопии Ньютона.

При выборе g{x} = х - х° (классическая гомотопия) уравнение (5.8) принимает вид:

Траекторию гомотопии для х° = 0 в этом случае отражает рис. 5.12. Она существенно отличается от соответствующей ей траектории гомотопии на рис. 5.11.

Однако в обоих случаях при применении рассмотренных функций гомотопии могут присутствовать крутой градиент и/или точки вращения. Поэтому для получения устойчивого решения из любой начальной точки х° необходимо “следовать” очень близко вдоль траектории гомотопии, т. е. использовать методы дифференциальной гомотопии.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы