Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ АППАРАТОВ
Посмотреть оригинал

Коррекция метода дифференциальной гомотопии.

Для предсказания коррекции метода дифференциальной гомотопии используется понятие единичный вектор и, тангенциальный к траектории гомотопии Г, который может быть получен решением следующей системы уравнений:

поскольку (/Ml -/°) имеет полный ранг п.

Вектор-строка (еОгв уравнении (5.19) является транспонированной матрицей единичного вектора координат е', v - нулевой вектор для матрицы [/{х}| - /°], /-й компонент которой равен 1. Единичный тангенциальный вектор тогда может быть определен из выражения:

где v - решение уравнения (5.19), || v || является его Евклидовой нормой, причем знак выбирается гак, чтобы выражение v„ + |/[ v || = dX/ds было отрицательным, поскольку траектория гомотопии следует от X = 1 до X = 0.

Хотя ранг матрицы [/'Ml - /°] равен п, f'{x) может быть пло- хообусловленной или сингулярной. Рассмотрим, как следует поступать в этом случае.

Преодоление проблемы плохообусловленности матрицы частных производных.

Комбинируя уравнения (5.16) и (5.17), получим: Первая матрица левой стороны, обозначим ее ц/, не вырождена, так как (хт, X) является ортогональной к каждой строке [/Ml - — У0), которая сама имеет ранг п. Следовательно, из выражения

или

ясно видно, что f{x) сингулярна тогда и только тогда, когда

X = 0. Точка, в которой X = 0, называется точкой разрыва по X.

Уравнение (5.21) показывает, что в точке траектории гомото- пии, далекой от точки разрыва по X, f'{x} может быть далекой от сингулярности; в этом случае е' в уравнении (5.19) может быть принято как ел+|, av„+i = 1, соответственно

где для простоты f '{*})!/0 обозначено / . Знак “тильда” используется для обозначения преобразования вектора в конечное векторное пространство размерности п в области реальных чисел К посредством обратной матрицы [/"'{*} Г1, который относится к ЦК) - пространству линейных преобразований от ЦК1) к К.

Если текущая точка траектории гомотопии близка к точке разрыва по X, тогда для расчета и используется следующая процедура. Пусть / соответствует индексу* компонента ы, чья абсолютная величина была наибольшей на предварительной итерации, тогда, если предыдущий шаг был не слишком большим, матрица Н\_j формируемая удалением /-го столбца из матрицы

[/•'Ml ~f°L не будет сингулярной и можно найти решение выражения

dxi

в следующей форме ffLtw = -

где

является l-м столбцом матрицы [/"'{дс}| -/°), Я- функция гомотопии с аргументами х и X.

(wT 1)^

Вектор (и,.....и,, и и, + ,, ... , ип, ы„+ ,) т= ±-^—яв-

• 11(^у,1)||

Рис. 5.13. Иллюстрация метода дифференциальной гомотопии

ляется единичным тангенциальным вектором с 1 компонентом, перемещенным в последнюю позицию. Знак выбирается так, чтобы сохранить острый угол между двумя последовательными тангенциальными векторами. Если выбор / ограничен наибольшими компонентами и, соответствующими “нестандартным” спецификациям, тогда “матрица простой структуры” не подвергается перестановкам.

Очень важным аспектом метода дифференциальной гомото- пии является стратегия выбора размера шага на стадии интегрирования, где единичный тангенциальный вектор и умножается на размер шага 8 для определения начальной точки у (в точке Rn + 1, предсказанной методом Эйлера), корректируемой в последующем методом Ньютона, т. е. у = j + 8м. Но прежде рассмотрим стадию коррекции.

Процедура коррекции методом Ньютона.

В классическом методе гомотопии “коррекция” Ньютона производится на гиперплоскости X = Хк (к - шаг гомотопии). Нами проводилась ньютоновская коррекция на гиперплоскости, ортогональной к единичному тангенциальному вектору и. Если размер шага не является слишком большим, гиперплоскость пересекает траекторию гомотопии в точке, близкой к предсказанной интегрированием у, как это показано на рис. 5.13.

Уравнение коррекции Ньютона (Ахт, АХ)Т имеет вид:

а решения уравнения (5.22) в виде коррекции Ньютона по Х(А) и по х(Лх) имеют вид:

и где и„ = («I, н2, ... , и„)т.

Таким образом необходимо решить

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы