Теория статистических испытаний, или статистического имитационного моделирования

Теория статистических испытаний является особым методом получения статистических оценок и анализа систем и процессов. Применяется:

  • • для решения статистических задач, в которых нахождение законов распределения или хотя бы вероятностных характеристик (дисперсии, коэффициента или функции корреляции и т.д.) является очень сложной, практически неосуществимой задачей;
  • • решения отдельных детерминированных задач или анализа систем, для которых в силу сложности вычислений решение не может быть получено аналитическими методами; в этих случаях подбирается и моделируется на ЭВМ процесс, сходящийся к результату решения.

Теория статистических испытаний является распространением более специфичного метода Монте-Карло на случай сложных методов и процессов.

Идею метода статистических испытаний удобно пояснить на упрощенном примере с геометрической интерпретацией вероятности.

Детерминированную площадь или детерминированный объем можно условно считать "размытой" точкой (областью). Можно представить матрицу случайных попаданий детерминированной точки на измеряемую детерминированную площадь (двумерная матрица) или в детерминированный объем (многомерная матрица). Получается отображение детерминированной площади (объема) стохастическим отображением.

Для двумерного случая:

причем £/>„, = 1, т = 1,2,и; 0 <рт]< 1. н

Закон распределения определяется заданием значения рщі в матрице Р.

Стохастическая матрица может быть решена с помощью алгоритма, составленного из логических операторов, когда результат выполнения оператора однозначно определяет оператор в алгоритме, к которому необходимо перейти после оператора Ау Тогда вероятности можно рассматривать как вероятность перехода от оператора Л,„ к оператору Ау

Если удается подобрать вероятности рт;- и операторы А*3 так, что какая-нибудь числовая характеристика закона распределения (например, математическое ожидание М) с ростом опытов будет сходиться по вероятности к искомому значению некоторой функции ф(х), то полученная схема алгоритма будет называться стохастическим алгоритмом, вычисляющим функцию ц>(х).

Такой стохастический алгоритм называют методом статистических испытаний. Наиболее универсальным и часто применяющимся является стохастический алгоритм, носящий название метода Монте-Карло.

Датой возникновения метода Монте-Карло считают 1949 г., когда о нем появилась первая публикация. Создателями метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи В. В. Чавчанидзе, Ю. А. Шрейдера и др. о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956 гг.

Название "Монте-Карло" происходит от одноименного города в княжестве Монако, знаменитого игорным домом, поскольку одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Теоретическая основа метода была известна: этот вероятностный алгоритм строится на базе одного из законов математической статистики — законе больших чисел (теоремы Бернулли). Однако до появления ЭВМ метод не мог найти широкого применения из-за трудоемкости. Считается весьма универсальным численным методом.

В силу закона больших чисел оценки, полученные на основе достаточно большого числа реализаций случайных процессов, приобретают статистическую устойчивость и с достаточной для практики точностью могут быть приняты в качестве примерных значений искомой величины.

Например, при применении метода Монте-Карло для вычисления площади фигуры С, лежащей внутри квадрата с известной стороной а (рис. 3.3), если каким-либо способом моделировать процесс случайного бросания точки Ь внутри І7, то геометрически очевидно, что вероятность попадания точки і в фигуру ґ примерно равна отношению площади к площади а-:

Рис. 33

При"=1р(ієСпл) = Спл.

На основании теоремы Бернулли

где п — число бросаний; т — число попаданий бросаемой точки в С При достаточно большом числе испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что

Или при а = 1

Очевидно, что чем больше п, тем полнее будет точность этой оценки.

Метод Монте-Карло имеет две особенности.

1. Простая структура вычислительного алгоритма.

Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания (надо выбрать случайную точку в квадрате и проверить, принадлежит ли она С). Затем это испытание повторяется п раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, и результаты всех опытов усредняются. Поэтому метод Монте-Карло называют методом статистических испытаний.

2. Погрешность вычислений, как правило, пропорциональна у]о/п , где п — число испытаний.

Отсюда видно, что для того чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (т.е. чтобы получить в ответе еще одни верный десятичный знак), нужно увеличить п, т.е. объем работы, в 100 раз.

Ясно, что добиться точности таким путем практически невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5—10%).

Однако существуют варианты метода Монте-Карло.

При решении задач на ЭВМ с применением метода Монте-Карло в некоторых случаях можно (или даже выгодно) отказаться от моделирования истинно случайного процесса и использовать искусственную модель.

Некоторым усовершенствованием метода Монте-Карло являются методы случайного поиска с ограничениями, накладываемыми на выбор применяющихся операторов; метод Монте-Карло с адаптацией, когда учитываются ошибки (помехи и неудачи)4, оцениваемые по случайной выборке; статистические испытания с применением эвристических методов"".

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >