Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ЯДЕРНАЯ МЕДИЦИНА: ФИЗИЧЕСКИЕ И ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Посмотреть оригинал

Интерпретация результатов компьютерной томографии

Коротко остановимся на методах реконструкции изображений в компьютерной томографии.

Поперечная томография — метод визуализации в целях диагностики, при котором трехмерный объект условно разрезается физическими методами, например с помощью коллимации излучения, на упорядоченную совокупность поперечных срезов объекта, рассматриваемых как двумерные и независимые друг от друга. Поперечные плоскости изображения перпендикулярны к системной оси.

В томографии ставится математическая задача восстановления внутренней структуры объекта по его проекциям (цифровым снимкам объекта, сделанным с разных точек). Решение поставленной задачи сводится к поиску преобразования, обратного преобразованию И. Радона. При этом решается система операторных уравнений i-го рода. Такие задачи относятся к некорректно поставленным. Для нахождения их приближенных решений используют методы регуляризации, позволяющие учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче (например, о гладкости функций). Реконструкция изображения существенно повышает информативность данных из-за наглядности пространственного расположения исследуемых тканей.

Вычислительная диагностика - определение количественных или качественных характеристик х различных материальных объектов по измеренной косвенной информации о них у=Ах.

Рис. ю. Иллюстрация к обработке результатов рентгеновской компьютерной томографии.

Основная задача вычислений - выбор лучшего в каком-то смысле алгоритма. Для компьютерной томографии критерием отбора алгоритмов является качество изображения.

Основные вычислительные алгоритмы делятся на два класса: аналитические и итерационные. Аналитические методы основаны на точных математических решениях уравнений восстановления изображения. В основе большинства из них используются аппарат преобразования Фурье и преобразования И. Радона. При этом задачи КТ сводятся к задачам интегральной геометрии, понимаемой в смысле Радона- Хелгасона.

Рис. 11. Одномерная параллельная проекция двумерного среза трёхмерного объекта.

Итерационные методы восстановления изображения используют аппроксимацию восстанавливаемого объекта массивом ячеек равной плотности, представляющих собой неизвестные величины, связанные системой линейных алгебраических уравнений, свободными членами которых являются отсчёты на проекции. Решаются системы уравнений итерационными методами. Трудоёмкость компьютерной обработки зависит от способа получения рентгенограммы. Так алгоритм программы для параллельной схемы сканирования относительно прост, но реконструкция занимает много времени. При веерном сканировании расчёты производятся намного быстрее, но алгоритм достаточно сложен.

Схема одного из вариантов компьютерной томографии приведена на рис. ю. Узкий пу'чок рентгеновского излучения от источника S, сформированный коллиматором К, просвечивает объект О, после чего регистрируг- ется детектором Д. При синхронном перемещении источника и детектора вдоль некоторого направления осуществляется последовательное сканирование всех участков объекта, причём связь зарегистрированной детектором интенсивности излучения J с линейным коэффициентом поглощения ц среды объекта имеет вид интегрального уравнения:

где J0- плотность потока рентгеновского излучения на входе в изучаемый

объект, dZ-элемент пути поглощения вдоль луча /, соответствующего направлению сканирования. Измерения повторяются для нескольких направлений сканирования относительно объекта.

Рис. 12. Построение преобразования Радона (параллельный пучок рентгеновского излучения, падающий на изучаемый объект под углом 0).

Поскольку р существенно зависит от энергии рентгеновского излучения, то закон поглощения радиации выражается формулой:

Поскольку при прохождении рентгеновского излучения через тело пациента его энергетический спектр изменяется (увеличивается вклад высоких энергий), то измеренный коэффициент поглощения:

Регистрируемые детектором данные - результат взаимодействия рентгеновского излучения и вещества, из которого состоит исследуемый объект. При прохождении через объект энергия фотонов уменьшается из-

за действия фотоэлектрического эффекта (поглощения) и эффекта Комптона (рассеивания). Компьютерная программа восстанавливает распределения р(д:,1/), а, следовательно, плотности и состава вещества по объёму объекта. Синтезируя картину распределения плотности тканей объекта в различных сечениях, устанавливают границы здоровых и поражённых участков, когда прямая диагностика затруднена или вообще невозможна.

Рис. 13. Параллельно-лучевая проекция с углом поворота 0.

Томограф «разрезает» трёхмерный изучаемый объект на двумерные слои («срезы»), информацию о каждом из которых компьютер трансформирует в одномерную проекцию (рис. и).

В наиболее известном алгоритме реконструкции изображения используется преобразование Радона.

Преобразование Радона интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона (1917). Важнейшее свойство преобразования Радонаобратимость, то есть возможность восстановления исходной функции по её преобразованию Радона.

Проекция — преобразование трехмерного объекта в его двумерное изображение или двумерного объекта в его одномерное изображение путем интегрирования соответствующей физической величины по направлению проекционного луча. Этот процесс математически описывается линейными интегралами в направлении проекции (вдоль линии отклика) и называется преобразованием Радона.

Горизонтальная и вертикальная проекции некоторой простой функции

Рис. 14. Горизонтальная и вертикальная проекции некоторой простой функции.

Рассмотрение алгоритма построения преобразования Радона начнём со случая освещения объекта пакетом параллельных рентгеновских лучей, каждый из которых падает на объект под заданным направлением (угол 0). Компьютерная программа строит iD-проекцию среза (пример такой проекции показан на рис.и) и интегрирует её (находит площадь под кривой). С этой целью вычисляется матрица проекций изображения вдоль заданных направлений. Проекция двумерной функции fix,у) равна интегралу вдоль указанной линии. Для нахождения функции Радона вычисляют проекции изображения на оси, которые задаются углами в градусах относительно горизонтали против часовой стрелки.

На рис. 13 показана проекция некоторой фигуры под указанным утлом. В качестве примера на рис. 14 показаны горизонтальные и вертикальные проекции для простой двумерной функции, а на рис. 15 продемонстрирован простой пример преобразования Радона.

Геометрия преобразования И.Радона квадрата

Рис. 15. Геометрия преобразования И.Радона квадрата: проекции под разными утлами 0=9О°(а), 135°(б) и 157,5° (в)-

Если J[x,y) — функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности, то двумерным преобразованием Радона функции fix,у) будет её проекция на ось д^, представляющая собой линейный интеграл:

где

Поскольку рентгеновские луни распространяются в изучаемом объекте прямолинейно вдоль прямой линии, определяемой уравнением

где s - расстояние от начала координат до соответствующего луча, на который осуществляется проекция. То уравнение (5) можно переписать в виде:

где связь между исходной системой координат {x,i/} и повернутой на угол О системой координат {х’,у} определяется соотношениями

Напомним, что оси х’ и у’ задаются поворотом на угол 0 против часовой стрелки.

Если воспользоваться 6-функцией Дирака (векторное представление), то преобразование Радона примет вид:

где Г = (х,у) — радиус-вектор из начала координат, dr = dxdy — двумерный элемент объёма, Я = (cos#,sin0) — единичный вектор.

Уравнение (9) часто записывают в виде:

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору Я = (cosa, sin а) и проходящей на расстоянии s=x* (измеренного вдоль вектора Я, с соответствующим знаком) от начала координат.

Рис. 16. Объект простой формы (слева) и его проекция (справа), полученная при падении параллель- но пучка, падающего под определённым углом.

Подобное интегрирование можно рассматривать как некоторое преобразование, которое для функции fix,у) на плоскости {х,у} ставит в соответствие R(s,Q) на множестве всех прямых. Эта трансформация представляет собой преобразованием Радона. Функцию R(s,d) называют образом функции fix,у) в пространстве Радона.

До сих пор мы рассматривали проекции, снятые под одним фиксированным углом. При реконструкции изображения используются проекции, снятые под всеми возможными углами. Такое трёхмерное представление сигналов называется синограммой (термин синограмма происходит от слова синус, поскольку рисунок синограммы имеет волнообразную струк- туру).

Синограмма - двумерное представление всех одномерных проекций среза объекта как функции проекционного угла. Проекционный угол отображается по ординате, линейная координата проекции — по абсциссе.

Простейшим объектом является точка (рис. 17). С помощью уравнения (5) легко показать, что при вращении в одной плоскости кривая s(0) =*?’(0) опишет синусоида задаваемую уравнением:

где г - амплитуда, а ф -сдвиг фазы волны для точки, отстоящей от абсциссы на расстоянии s, относительно волны, описываемой той же точкой, но расположенной на абсциссе с s=о.

Если плоскость не одна, а множество, то проекции точки опишут трёхмерную синограмму (трёхмерное преобразование Радона) вид которой представлен на рис. 17.

Преобразование Радона

Рис. 17. Преобразование Радона: а - расположение точечного объекта в декартовых координатах; б - зависимость проекции точки от угла проекции; в - синограмма точки.

Рис. 18. Несколько прямых линий (слева) и их синограмма (справа).

На рис. 18 в качестве примера показана синограмма прямых линий, а на рис. 19 - синограммы (преобразования Радона) фигур

простой геометрической формы.

Если известна геометрическая форма объекта, то синограмму найти достаточно просто: это - прямая, корректно поставленная задача. Однако, в компьютерной томографии форма объекта как раз и неизвестна - именно её и нужно найти по выданной томографом синограмме. Это уже некор- ректнопоставленная задача, вообще говоря, не имеющая точного решения (методы регуляризации позволяют найти приближенное решение).

Таким образом, в томографии ставится математическая задача поиска неизвестной функции fix, у) по известной функции i?(s,0), являющаяся образом функции fix,у) в пространстве Радона. Решение поставленной задачи сводится к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона.

Для реконструкции изображения из синограммы, к ней применяют обратное преобразование Радона. Известно много способов обратного

преобразования, но основными ляются метод построения обратных проекций и метод Фурье. Алгоритм суммирования обратных проекций похож на прямое преобразование Радона за исключением того, что перь линейные интегралы руют обратно на плоскости, щиеся под различными углами к падающему излучению. Второй метод использует фундаментальную связь между п-мерным преобразованием Фурье и преобразованием Радона: для того, чтобы осуществить и-мер- ное преобразование Фурье функции, необходимо сначала выполнить ее преобразование Радона, а затем осуществить одномерное преобразование Фурье проекции по её радиальной переменной.

Рис. 19. Геометрические фигуры (слева) и их синограммы (справа). Двумерная реконструкция — метод реконструкции, при котором информация сначала преобразуется в синограммы, являющиеся информацией о проекции поперечных срезов, рассматриваемых независимыми один от другого и перпендикулярными к системной оси. Информация реконструируется методами двумерного преобразования: каждый срез реконструируется из синограммы независимо от информации об остальных срезах.

Трёхмерная реконструкцияметод реконструкции, не требующий, чтобы линии отклика были перпендикулярны к системной оси. Поэтому линия отклика может проходить через несколько поперечных срезов. Здесь поперечные срезы не могут быть реконструированы независимо друг от друга — каждый срез должен быть реконструирован с использованием полного набора трёхмерных данных.

Обработка результатов состоит из нескольких стадий (рис. 20 и 21). Полученный на томографе набор изображений, снятых под разными углами, поступает в компьютер, где с помощью преобразования Радона превращается в трёхмерную синограмму. Синограмму подвергают математическому фильтрованию с целью улучшения качества изображения (увеличение контраста, подавление шумов) и удаления возможных артефактов. Рис. 20 иллюстрируют основные этапы обработки томографической информации.

В рентгеновской томографии flx,y)=p(x,y), где р(х,у) - коэффициент поглощения фотонов в биологической ткани.

В этом случае преобразование Радона принимает вид:

где J0 - плотность потока рентгеновского излучения на входе в изучаемый объект, J(s,0) - плотность потока на выходе из него.

Основные этапы вычислительной обработки томограмм

Рис. 20. Основные этапы вычислительной обработки томограмм.

Пример прямого и обратного преобразования Радона

Рис. 21. Пример прямого и обратного преобразования Радона.

Задача расчетов - нахождение неизвестной функции у(х,у) по известной функции R(s,0). Её решение сводится к отысканию обратного преобразования Радона.

В развёрнутой форме уравнение (12) имеет вид:

Используя обратное преобразование Радона, уравнение (13) решают относительно величины р(д:,у):

Пример реконструкции 2D изображения

Рис. 22. Пример реконструкции 2D изображения. Представлен исходный объект с неоднородностями, рассеивающими излучение, синограммы для различных режимов томографии (параллельный пучок и веерное облучение) реконструированная томограмма и изображение восстановленного объекта. Видно, что восстановление прошло почти точно, но расчётный алгоритм вносит свои шумы и погрешности формы.

рентгенограммы являются в той или иной степени зашумленными. Расчётные алгоритмы также генерируют шумы. Для борьбы с ними используются различные цифровые фильтры.

Рис. 23. Пример отфильтрованной обратной проекции, примененной к медицинским данным: а - синограмма исходного изображения, б - изображение после удаления шумов.

На рис. 23 и 24 представлены примеры реконструкции реальных медицинских объектов.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы